引力質量與慣性質量為什麼能等價？

作者 張祥前

本文在沒有標註的情況下大寫字母是向量

牛頓力學的核心是質量概念。

牛頓力學認為力是改變物體運動狀態的原因，物體受到了力的作用，產生的加速度與物體的慣性質量成反比，與受力成正比，並且產生的加速度和受力方向一致。

牛頓萬有引力認為，宇宙任何兩個物體都是相互吸引的，吸引力的大小與它們的引力質量成正比，與它們的距離的平方成反比，引力的方向平行於兩個物體的連線。

慣性質量反映了物體不容易被加速的程度，而引力質量反映了影響別的物體的能力。在牛頓力學中這兩種質量被認為是等價的，

牛頓自己做了實驗來驗證，牛頓的實驗精確度不高，現代實驗的精確極高，驗證了慣性質量等價於引力質量，至於為什麼慣性質量等價於引力質量？這個問題困擾了人類幾百年。

本文提出一個假設：

宇宙中任何物體【包括我們人的身體】相對於我們觀察者在靜止的時候，周圍空間都以光速輻射式運動，空間這種運動給我們人的感覺就是時間。

而物體的質量就是物體周圍單位體積內光速運動空間的運動量。

為了定性定量的描述空間本身的運動，我們把空間分割成許多小塊，每一小塊空間叫空間幾何點，簡稱幾何點。透過描述幾何點的運動來描述空間本身的運動。

藉助幾何點的概念，我們可以認為：

時間t與觀察者【或者相對於觀察者靜止的物體】周圍空間幾何點以光速度C【本文認為光速可以為向量，光速作為向量方向可以變化，但是摸不變】運動的空間位移R成正比。

R(t) = Ct = x i+ y j + z k

i, j, k分別是沿x軸、y軸、z軸的單位向量。

將上式兩邊平方，結果有時空同一化【意思是時間的本質就是光速運動的空間,向量式為R(t) = Ct = x i+ y j + z k 】方程：

r² = c²t²= x²+ y² + z²

下面我們用光速直線運動空間來定義質量和引力場。

設想在某處空間中一直存在著有一個質點o相對於我們觀測者靜止，o點周圍空間中任意一個空間幾何點p在零時刻以光速度C從o點出發，沿某一個方向運動，經歷了時間t，在t"時刻到達p點所在的位置，讓點o處於直角座標系xyzo的原點，由o點指向p點的矢徑為R = C t = x i+ y j + z k

R是空間位置x，y，z和時間t的函式，隨x，y，z，t的變化而變化，記為：

R = R（x,y,z,t）。

我們以 R = C t中R的長度r為半徑作高斯球面s = 4π r²【內接球體體積為4π r³/3】包圍質點o。

注意，r和R雖然數量相等，但是二者是有區別的，r是幾何點的位移R長度的數量，是高斯面s的半徑。把運動空間看成是水流，R就是水流沿某一個方向流動的長度，而r如同我們隨著水流測量的捲尺的刻度。

o點周圍的引力場A表示o點周圍在體積4π r³/3內有n條几何點的位移向量R = C t，

A = k g n R /（4π r³/3）

k為比例常數。 g為萬有引力常數。

而質點o的質量m就表示在高斯球面s = 4π r²【內接球體體積為4π r³/3】內，包含幾何點向量位移R = Ct的條數n和立體角度4π的比值。

m = 3 k n /4π

這樣,以上的引力場方程A = k g n R /（4π r³/3） 可以寫為：

A = g m R /r³

牛頓萬有引力定理指出，質點o周圍空間p處【由o指向p點的矢徑為R，o點到p點的距離,也就是向量R的數量為r】產生的引力場a = g m/r²,向量式：A = g m R/r³。

以上的引力場定義方程和牛頓力學引力場方程是吻合的。

以上引入的質量方程m = 3k n /4π中角度是常數4π，實際上角度可以是變數，在0和4π之間變化，n和m都可以是變數，質量方程仍然成立。

我們引入立體角Ω概念，把質量方程 m = 3k n /4π寫成普遍形式：

m = k n /Ω

相應的有比較普遍的引力場方程：

A = g m R /r³ = g k n R/Ω r³，

我們現在來考慮以上方程在n =1，r = 常數的情況下，

r是R的模，R的模雖然不變，但是，方向可以變化，所以R仍然可以是變數。

而Ω r³可以用頂點在o點的正四稜錐體u的體積s h/3【s是正四稜錐體u的底面積，h是高】來近似表示，

A = g m R /r³ = g k n R/Ω r³ ≈ g k R / [s h/3]

【其中n=1，r =常數】

上式中正四稜錐體u底面積s可以看成是向量R在垂直方向的微小變化而得到的，因而

s = △R·△R

這樣有：A ≈ g k R / [△R·△R] h/3

當我們考察以上引力場方程中R有無限小的變化量的情況下，s也將無限縮小，也可以說是包圍o點的高斯球體4π r³/3被無限分割，分割得非常細密，

以上方程中△R就可以用dR【d是微分符號】代替，並且h = r ,方程的約等號可以換成等號。也就是方程變成了：

A = g k d²R / [dR·dR] [h/3]

由以上的時空同一化方程 R(t) = Ct = x i+ y j + z k ，上式可以改寫為：

A = g k d²R / [c² dt² r/3]

由於3，g， k， c，r都是常數，所以有：

A = 常數乘以 d²R / d t²

也可以把這個常數設定為1，所以有：

A = d²R / d t²

上式表示，一個物體o點在周圍空間幾何點p點處產生的引力場A可以用p點指向o點的加速度來表示。

牛頓力學中，質量為m’的地球對質量為m的衛星的萬有引力F = G m’mR/ r³【G為萬有引力常數，r為地球和衛星之間的距離，並且r是R的模】，就是地球影響了周圍空間，使存在在地球周圍空間中的衛星的運動狀態發生變化，產生了速度變化的運動。

衛星的質量乘以速度變化這種慣性力反映了地球對衛星的萬有引力，萬有引力是空間本身運動產生的，本質上也是慣性力。也就是：

F = G m’mR/ r ³ = m d²R /dt²

其中A = G m’R/ r ³ = d²R /dt²

這樣， G m’mR/ r ³ 中的m和 m d²R /dt²中的m可以等價就是必然的。

什麼是慣性質量和引力質量？

拋開復雜的公式，方便大眾人群普遍能夠理解，說得簡單點，當涉及到F=ma時，這裡的m就是慣性質量；而在萬有引力F=GMm/r²中的m，這就是引力質量（G=mg這也是引力質量）。再說明白點，慣性質量產生慣性，引力質量產生引力。

慣性質量和引力質量的等價性

我們先來回想一下科普書告訴我們的愛因斯坦廣義相對論中的等效原理

慣性參考系和非慣性參考系的動力學效應都是不能分辨

對此，他做了一個思想實驗，在一個自由落體的電梯裡頭，有個人（這個實驗是他在臨死之前做的，感謝為了物理而獻身的英雄們吧。。。）釋放了一個小球，這時他不會看到小球自由下落，而是看到小球和自己相對靜止的浮在空中。對於在非慣性系中的這個將死之人，他會做出以下解釋：小球受到了來自地球的重力mg，以及加速電梯裡的慣性力m"g，兩個力等大反向，小球靜止

等等，這裡我們必須注意到一個問題，小球受到的重力是由引力質量提供，寫為mg，而慣性力則是應該由慣性質量提供，寫為m"g，事實是這兩個力等大，這就表明必須有m"=m才符合事實，這本來是兩個不同定義的質量，風馬牛不相及，為什麼這兩個量能相等？愛因斯坦作出了一個假設，那就是m=m"（這跟上面的黑體字是等價的描述），這就是愛因斯坦的（弱）等效原理（WEP）

慣性質量等於引力質量，這就是(弱)等效原理

質量的概念最早來源於重量，人們首先認識重量，買東西賣東西都用重量。後來人們認識到物體重量不是恆定不變的，在地球不同地方重量不同，重量是因為地球的引力。於是引入質量概念，質量是物質的量，不隨地點的變化而變化。再後來認識到重量其實是地球和物體之間的萬有引力，萬有引力和物質的質量和距離有關。這個質量就是引力質量。

慣性是牛頓第一定律內容，物體具有保持原有運動狀態的本性，除非是有外力改變。慣性的大小與質量和速度乘積有關，我們把這叫動量。這個質量就是慣性質量。

光子沒有靜止質量，運動起來質量也不大。所以光子速度可以達到最大，運動軌跡也幾乎是直線，受外界影響不大。光壓其實並不大，只是在大量光子打在一個很輕盈的物體上，才會被觀察到。最可能的方式是一個面積很輕的薄帆，把動力集中到一個小質量的物體，才可以看到光壓的力量。