宋金時期，蒙古高原有四大部落，分別是克烈部、蔑兒乞部、塔塔兒部和乃蠻部。其中乃蠻部勢力最大。

乃蠻部首亦難赤汗死後，兩子不和，乃蠻部開始分裂，長子稱“不欲魯汗”，地盤是今天新疆吉里庫勒和布倫托海地區，後被成吉思汗打跑，跑到今天的俄羅斯的圖瓦和哈卡斯兩共和國境內。

亦難赤汗的次子拜不花稱“太陽汗”，地盤是今天中國新疆，蒙古國，俄羅斯，哈薩克交界的地方。太陽汗討伐成吉思汗，與成吉思汗大戰於納忽山崖，乃蠻軍大敗，太陽汗負重傷而死。子民隨他的兒子跑到了今天哈薩克東部這塊區域。

太陽汗王國只不過是電視劇為了體現蒙古帝國的強大的一種藝術化的表現形式而已。太陽汗王國是指乃蠻部落。其首領自稱太陽汗。

遼國滅亡後，遼國一部分遺民不願意被女真人統治，於是逃到了今新疆以及中亞地區，又恢復了遼國。史稱西遼。契丹人雖然打不過女真人，但是畢竟瘦死的駱駝比馬大，很快便打敗了中亞的其他民族。當然了也包括乃蠻部。乃蠻部被迫臣服西遼。

隨著西遼的沒落，蒙古的崛起。乃蠻部乾脆脫離了西遼。加入了同蒙古各部落的戰爭衝突之中，迅速擴大了領土。此時的成吉思汗也統一了蒙古各部。必然與盤踞與蒙古高原西部的乃蠻發生衝突。1204年，乃蠻首領太陽汗進軍蒙古，成吉思汗大敗乃蠻軍，迅速收服了乃蠻的領土和部眾。乃蠻王子屈出律收拾少量殘兵敗將逃到了西遼。後來屈出律透過種種手段奪取了西遼皇位。但是好景不長，成吉思汗西征，屈出律大敗，西遼滅亡。乃蠻部眾被分配給蒙古各王公。

今天的哈薩克族據說有乃蠻部。他們絕大部分是西遼滅亡後的西遼殘部的後裔。即使是乃蠻王子屈出律率領的乃蠻殘部，也在被成吉思汗擊敗後分配給蒙古各王公。

乃蠻部一直生活在蒙古高原西部，阿爾泰山周圍。其歷史甚至比蒙古人都要長。首領稱為太陽汗，具有簡單的統治機構。乃蠻人說突厥語，應該和唐朝時期盤踞於中國西部的突厥有關係。我猜測應該是突厥人的其中一個部落或者是早期臣服於突厥的小部落。

太陽汗王國即蒙古乃蠻部，即在現在蒙古西部及額爾齊斯河流域一帶。乃蠻部是蒙古大部，人口眾多,兵馬強盛。1204年，乃蠻太陽汗率軍與成吉思汗在杭愛山大戰，兵敗重傷而死。成吉思汗征服乃蠻部。

電視劇《成吉思汗》中所提到的“太陽汗國”是現在的什麼地方？請直接看圖！

用文字說明是這樣：乃蠻部，初居謙河地區（今葉尼塞河上游），後始逐步南遷，散佈於阿爾泰山一帶。東鄰克烈，西至也兒的石河（今額爾齊斯河），北抵吉利吉思，南界畏兀兒。語言屬突厥語族。信奉景教。部落也有很多分支，經濟、文化較諸蒙古部落發達。

其歷史、經濟、文化遠比蒙古人悠長，蒙古人興起前已建立起國家機構，並擁有精良、龐大的軍隊，經常同克烈部發生戰爭。克烈部王汗就曾被乃蠻部推翻，後在也速該幫助下復國。

戰爭的焦點是誰是這一帶的老大，誰有更多的對周圍部落的支配權。

鐵木真攻滅乃蠻，大部分乃蠻人跟隨其王子屈出律西遷，跑到今哈薩克東部，並與當地的其他突厥語部落融合，後成為哈薩克民族的主要部落之一。後來屈出律被成吉思汗派人追殺。

題主提到的太陽汗，在譯成漢語時又有翻譯成塔陽汗的。只是個翻譯選字不同而已。

順便說幾句關於乃蠻的話題：

乃蠻部，古代突厥部落，居住在蒙古高原西部，操突厥語言，乃蠻部的突厥稱呼為“sakiz oghuz”漢語稱八姓烏古斯人。乃蠻人信薩滿教，但也有信仰景教(古基督教)與佛教的。乃蠻人是當時蒙古草原上最文明的部落，有自己的文字，乃蠻人文字使用畏兀兒字母(突厥字母)拼寫。11世紀時，乃蠻部成為蒙古高原諸部中“國大民眾”、勢力最強的大部。

隨著室韋人的蒙古部也在草原崛起，雙方在1204年爆發對決，乃蠻部的大汗太陽汗被鐵木真大軍所殺，太陽汗的兒子末代乃蠻王子屈出律率眾逃到西遼，後來屈出律也被殺了，乃蠻人隨後被編入了蒙古帝國成為了蒙古民族祖先裡的重要一支，乃蠻人也是最後一支被成吉思汗編入蒙古人的草原部落。蒙古帝國西征時，在蒙古將領的率領下乃蠻人成為蒙古西征時期的重要力量。