可以說，你每天都受益於微分流形這個數學概念。你手中的科技產品，很多都用到了微分流形的知識。甚至一些生活中的細枝末節，比如說黃金的金黃色，都可以歸結於微分流形上的方程。
這是為什麼呢？微分流形不是很抽象的東西嗎，日常生活中怎麼會碰到？
那是因為你就活在一個微分流形上。
【圖片來自Wikimedia | Lunch】
要講清楚這一點，還要從數學家發明微分流形的動機開始。
很早之前，在許多實用領域，比如說商業和天文計算中，線性方程組就出現了。對這些方程組的解的研究，催生了線性空間的概念，而研究線性空間的數學分支就是線性代數。線性空間是個很好的概念，因為世界上有很多東西，雖然不一定是線性的，但是在相應的範圍，可以用線性方程來進行相當不錯的近似，然後就能解決問題。也就是說，很多時候即使研究物件不是線性的，但只要不跨越太遠，也可以當作是線性的。這就是線性代數重要性的來源。就連牛頓，也選擇了線性空間（確切地說，是建基於線性空間的仿射空間）作為空間的模型。
但梁園雖好，終非久留之地。隨著人們對自然世界的研究越來越深入，也越來越需要超脫區域性線性，能縱覽全域性的數學工具。他們發現，雖然每個區域性都滿足線性，但在不同位置的流轉之間，對應的線性空間也悄然發生了變化。人們需要一個工具，來刻畫這種在每個區域性都滿足線性，但在全域性上卻變化多端的情況。
而應運而生的，就是微分流形這個數學概念。
我們一般說微分流形這個概念來源於高斯和黎曼的工作。雖然看上去很複雜，但微分流形這個概念其實不難理解：如果一個空間，在每一點的區域性都“很像”一個線性空間，而當我們環遊整個空間時，這些“區域性線性空間”會以一種合適的方法變動，使得不會產生矛盾的話，那麼這個空間就是一個微分流形。當然，如果要形式化地嚴格定義這個概念的話，需要許多筆墨，也很難理解，但基本的意思就在那裡。
一言以蔽之：微分流形，就是可以彎曲的空間。
這聽起來是不是很熟悉？不錯，這就是廣義相對論的結論。實際上，作為廣義相對論基石之一的等效原理，它的內容實際上就相當於說時空是一個微分流形，而具體的彎曲情況則是由物質產生的引力場決定。於是，我們可以用關於微分流形的理論，也就是微分幾何，來研究這個宇宙時空的結構。
不要以為廣義相對論離我們的生活很遠。我們在智慧手機和車輛導航中常用的GPS定位系統，其中就牽涉到廣義相對論。GPS定位的原理是透過接收人造衛星發射的訊號，測量衛星與所在位置的距離，然後再用三角法進行定位。要想定位準確的話，人造衛星上的時間必須與地表同步。但是，人造衛星相對於地面高速運動，根據相對論，衛星上時間的流逝會變慢；相反，人造衛星處於太空中，而地球在那裡的引力場比在地表要弱，這會導致衛星上時間的流逝比地表要快一點。這兩種效應並不會互相抵消，而具體到底是加快或者減慢多少，就需要應用廣義相對論來進行計算。可以說，人造衛星無時無刻不在利用微分流形的理論進行計算，以便於我們能隨時隨地得知自己的準確位置。
微分流形還有很多應用，具體就不一一細說了。很多時候，看似複雜的數學物件，在實際生活中往往有意想不到的應用。
可以說，你每天都受益於微分流形這個數學概念。你手中的科技產品，很多都用到了微分流形的知識。甚至一些生活中的細枝末節，比如說黃金的金黃色，都可以歸結於微分流形上的方程。
這是為什麼呢？微分流形不是很抽象的東西嗎，日常生活中怎麼會碰到？
那是因為你就活在一個微分流形上。
【圖片來自Wikimedia | Lunch】
要講清楚這一點，還要從數學家發明微分流形的動機開始。
很早之前，在許多實用領域，比如說商業和天文計算中，線性方程組就出現了。對這些方程組的解的研究，催生了線性空間的概念，而研究線性空間的數學分支就是線性代數。線性空間是個很好的概念，因為世界上有很多東西，雖然不一定是線性的，但是在相應的範圍，可以用線性方程來進行相當不錯的近似，然後就能解決問題。也就是說，很多時候即使研究物件不是線性的，但只要不跨越太遠，也可以當作是線性的。這就是線性代數重要性的來源。就連牛頓，也選擇了線性空間（確切地說，是建基於線性空間的仿射空間）作為空間的模型。
但梁園雖好，終非久留之地。隨著人們對自然世界的研究越來越深入，也越來越需要超脫區域性線性，能縱覽全域性的數學工具。他們發現，雖然每個區域性都滿足線性，但在不同位置的流轉之間，對應的線性空間也悄然發生了變化。人們需要一個工具，來刻畫這種在每個區域性都滿足線性，但在全域性上卻變化多端的情況。
而應運而生的，就是微分流形這個數學概念。
我們一般說微分流形這個概念來源於高斯和黎曼的工作。雖然看上去很複雜，但微分流形這個概念其實不難理解：如果一個空間，在每一點的區域性都“很像”一個線性空間，而當我們環遊整個空間時，這些“區域性線性空間”會以一種合適的方法變動，使得不會產生矛盾的話，那麼這個空間就是一個微分流形。當然，如果要形式化地嚴格定義這個概念的話，需要許多筆墨，也很難理解，但基本的意思就在那裡。
一言以蔽之：微分流形，就是可以彎曲的空間。
這聽起來是不是很熟悉？不錯，這就是廣義相對論的結論。實際上，作為廣義相對論基石之一的等效原理，它的內容實際上就相當於說時空是一個微分流形，而具體的彎曲情況則是由物質產生的引力場決定。於是，我們可以用關於微分流形的理論，也就是微分幾何，來研究這個宇宙時空的結構。
不要以為廣義相對論離我們的生活很遠。我們在智慧手機和車輛導航中常用的GPS定位系統，其中就牽涉到廣義相對論。GPS定位的原理是透過接收人造衛星發射的訊號，測量衛星與所在位置的距離，然後再用三角法進行定位。要想定位準確的話，人造衛星上的時間必須與地表同步。但是，人造衛星相對於地面高速運動，根據相對論，衛星上時間的流逝會變慢；相反，人造衛星處於太空中，而地球在那裡的引力場比在地表要弱，這會導致衛星上時間的流逝比地表要快一點。這兩種效應並不會互相抵消，而具體到底是加快或者減慢多少，就需要應用廣義相對論來進行計算。可以說，人造衛星無時無刻不在利用微分流形的理論進行計算，以便於我們能隨時隨地得知自己的準確位置。
微分流形還有很多應用，具體就不一一細說了。很多時候，看似複雜的數學物件，在實際生活中往往有意想不到的應用。