數學是一個高貴的世界，只有數學所揭示的世界才是永恆的！

數學是一座宏偉的演繹推理大廈，而建立這樣的大廈正是利用了一些自明的公理定義，推演出若干命題，將這座大廈的美展現到極致！

其實數學是脫胎於哲學，歐幾里得創造了邏輯演繹的標本，演繹就是對事物抽象性質的判斷與推理，那判斷與推理是需要建立在已知之上的，這就是公理，人所皆知的。

因此，我認為，公理就是數學的基礎，沒有公理，數學這座大廈就難以堆砌！

本文參考了小木曾韭菜的“再談哥德爾不完備定理”和超級數學建模的“聽說，這就是數學的真正基礎？”這兩篇文章，我在這裡也只能說說自己淺薄的觀點。

透過定義的基礎公理一步步建立數學的理論是可行的，實際上數學家們早就在這樣做，雖然數學的起源肯定不是這樣構建的過程。

大神們對於數學的思考和高瞻遠矚的視角使得數學的根基更加的穩固。他們透過增加基本的數學假設，定義一些基礎的數學概念，加上嚴謹的數學邏輯一步一步構建了數學大廈，而這些假設應該就可以看成是數學公理。

不同的公理會構建出不同的大廈。黎曼幾何向我們展示了完全不一樣的數學世界，但它與我們的實際生活常識有點遠。這些數學大廈最終都會陷入哥德爾不完備定理的境地：一個包含皮亞諾算術的形式系統如果是一致的那麼是不完備的；對於一個包含皮亞諾算術的形式系統，該系統的一致性不能在系統內部證明。

因此，數學大廈的基礎就是數學公理（數學假設和定義）。

從很大程度上可以這麼說。

數學公理是從大量事實中總結出來的，或者可以說它是被定義出來的，所以數學公理是數學推理的起點，就像數學中的“憲法”一般，數學必須要遵循相應的規則。

舉個簡單的例子，歐幾里得所著《幾何原本》就是數學公理化的典範。它用5條公設與5條公理(近代數學不再區分公設與公理)再加上23條定義，就構建起了整個古典歐式幾何學。其中著名的第五公設，也就是:如果平面內一條直線與另兩條直線相交，若所得同側兩內角之和小於180°，則這兩條直線一定相交。歷史上眾多數學家致力於“證明”它，然而均無功而返，這直接導致了非歐幾何的誕生。這也從側面說明了在相應的公理體系下，公理不僅不需要被證明，而且也證明不了，因為公理是獨立出來的東西。

後來的研究進一步發現:只要實數系統是相容的，那麼歐式幾何公理系統與非歐幾何公理系統也會是相容的，而實數系統的相容與否又會歸結為集合論系統相容與否。然而我們知道集合論中有羅素悖論的存在，這也就說明我們整個數學體系的邏輯不是完美無缺的。而集合論卻能構建起整個經典數學體系，即使不完美，很多時候數學家們卻不得不暫時承認它。

甚至連公理都可能是有爭議的，比如選擇公理:設A是由非空集合所構成的集合，那麼可以從每一個A中中的集合中選擇一個元素和其所在的集合組成有序對來構成一個新的集合。從這個看起來似乎顯然正確的公理出發可以得到數學中許多重要結論，然而Banach卻利用選擇公理把一個三維實心球分解後又組成了兩個和原來一模一樣大的球！這顯然不符合我們的認知規律，但如果我們不承認選擇公理，那麼我們的數學發展又顯然會裹足不前。

所以我們可以這樣說:數學大廈是由數學公理所構建起來的，但這樣的基礎並不是完全穩固的，甚至是有裂縫的。簡而言之，現行公理體系下的數學是不完美的。

數學大廈的基礎是基礎數學，即幾何學。所有其它數學分支都是建立其上的。數學是研究數和形的科學，而幾何學(包括歐氏、黎曼和羅氏幾何學)就規定了數和形的性質。其它數學學科就根據數和形的性質按照不同方向不同內容演譯。