題主你好。新千年七大數學難題是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊-米爾斯存在性和質量缺口、納衛爾-斯托可方程、BSD猜想。這七個問題都被懸賞一百萬美元。
2000年初美國克雷數學研究所的科學顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”，克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。
其中有一個已被解決(龐加萊猜想，由俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼破解)，還剩六個。
1、NP完全問題
生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。舉個例子，87730637分解質因數，這個問題要比驗證87730637的質因數是9151和9587要花的時間多得多。人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性演算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。
3、龐加萊猜想
大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。學過拓撲學都知道，二維球面的基本群是平庸的，所以是單連通的。那麼三維球面的連通度是什麼呢？
4、黎曼假設
黎曼提出了所謂的Zeta函式，黎曼假設該函式的非平凡零點分佈與一條直線上。這個問題在近二百年間還沒有好的解答。
5、楊-米爾斯存在性和質量缺口
楊米爾斯理論是20世紀50年代由楊振寧和米爾斯建立的物理理論。後來發現，楊米爾斯理論可以對除了引力之外的三種基本相互作用給出優美的描述。但是，楊米爾斯理論，對應的運動方程在數學上沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
6、納維爾-斯托克斯方程的存在性和光滑性
納維-斯托克斯方程依賴非線性微分方程來描述流體的運動。可是這個方程的解卻很少，由於非線性性，微分方程求解是極為困難的。即便找到了解，對解的光滑性考察也是一個很重要的問題。前面的楊米爾斯理論的運動方程也是非線性的，所以也不好求解。
7、BSD猜想
貝赫和斯維納通-戴爾猜想，描述了阿貝爾簇的算術性質與解析性質之間的聯絡。
給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等於它的L函式在1處的零點階數，且它的L函式在1處的泰勒展開的首項係數與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的週期以及沙群有精確的等式關係。前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數公式的推廣。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對於motif的Bloch-Kato猜想。
BSD猜想的陳述依賴於莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點形成一個有限生成交換群。精確的部分依賴於沙群的有限性猜想。
這七個問題中，龐加萊猜想被解決了。黎曼猜想在量子理論裡有所進展。楊米爾斯問題據說被南韓人解決了，但是沒有後文。在BSD猜想上，對於解析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2以外均成立。對於解析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2和導子以外均成立。其他的小編不甚瞭解。
題主你好。新千年七大數學難題是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊-米爾斯存在性和質量缺口、納衛爾-斯托可方程、BSD猜想。這七個問題都被懸賞一百萬美元。
2000年初美國克雷數學研究所的科學顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”，克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。
其中有一個已被解決(龐加萊猜想，由俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼破解)，還剩六個。
1、NP完全問題
生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。舉個例子，87730637分解質因數，這個問題要比驗證87730637的質因數是9151和9587要花的時間多得多。人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性演算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。
2、霍奇猜想二十世紀的數學家們發現了研究複雜物件的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定物件的形狀透過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的物件進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程式的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間型別來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。3、龐加萊猜想
大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。學過拓撲學都知道，二維球面的基本群是平庸的，所以是單連通的。那麼三維球面的連通度是什麼呢？
在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數學家格里戈裡·佩雷爾曼在發表了三篇論文預印本，並聲稱證明了幾何化猜想。在佩雷爾曼之後，先後有2組研究者發表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛。2006年8月，第25屆國際數學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。4、黎曼假設
黎曼提出了所謂的Zeta函式，黎曼假設該函式的非平凡零點分佈與一條直線上。這個問題在近二百年間還沒有好的解答。
5、楊-米爾斯存在性和質量缺口
楊米爾斯理論是20世紀50年代由楊振寧和米爾斯建立的物理理論。後來發現，楊米爾斯理論可以對除了引力之外的三種基本相互作用給出優美的描述。但是，楊米爾斯理論，對應的運動方程在數學上沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
6、納維爾-斯托克斯方程的存在性和光滑性
納維-斯托克斯方程依賴非線性微分方程來描述流體的運動。可是這個方程的解卻很少，由於非線性性，微分方程求解是極為困難的。即便找到了解，對解的光滑性考察也是一個很重要的問題。前面的楊米爾斯理論的運動方程也是非線性的，所以也不好求解。
7、BSD猜想
貝赫和斯維納通-戴爾猜想，描述了阿貝爾簇的算術性質與解析性質之間的聯絡。
給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等於它的L函式在1處的零點階數，且它的L函式在1處的泰勒展開的首項係數與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的週期以及沙群有精確的等式關係。前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數公式的推廣。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對於motif的Bloch-Kato猜想。
BSD猜想的陳述依賴於莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點形成一個有限生成交換群。精確的部分依賴於沙群的有限性猜想。
這七個問題中，龐加萊猜想被解決了。黎曼猜想在量子理論裡有所進展。楊米爾斯問題據說被南韓人解決了，但是沒有後文。在BSD猜想上，對於解析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2以外均成立。對於解析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，並且精確的BSD猜想在2和導子以外均成立。其他的小編不甚瞭解。