函式的極限是高等數學的課程，比較簡單，利用極限，我們實現了龜兔賽跑裡的，兔子可以追上烏龜，實際哲學裡是不可能的！

首先判定函式極限常用的是:【夾逼性準則】和【單調有界函式必有極限】

1、如果有極限,直接代入,也就是“定式”,就是可以直接確定的極限表示式；2、如果直接代入,出現無法確定的情況沒,需要經過特別處理才能確定最後結果,這樣的情況有七種,七種不定式：(1)、無窮大 減 無窮大；(2)、無窮大 乘 無窮小；(3)、無窮大 除 無窮大；(4)、無窮小 除 無窮小；(5)、1的無窮大次冪；(6)、無窮大的無窮小次冪；(7)、無窮小的無窮小次冪.

很多學數學的學生，以及教數學的老師，喜歡把某個事情(比如這個題目中的極限)分類，分成幾種型別，或者歸納成多少種方法，以為這樣比較容易掌握，容易學好。學生也很佩服能夠這樣做的老師。但是，這恰恰是學數學的大忌，因為這樣容易把學生的思路限死，框住，學生的學習變得非常死板。數學至關重要的是思路的開闊，思維的敏捷，做一道數學題，最忌諱的是思路狹窄，翻來覆去就只會那麼幾種方法，就只會往那幾條路想，這樣很多題目就做不出來。很多數學題，往往是在忽然想到某一點上就豁然開朗，其實這個忽然想到就需要你的思路沒有太多定式，否則，那一點你絕對是想不到的。老師教數學，只需要把作為定義的概念，基本規則，基本定理，基本公式等講清楚，講出它們的來龍去脈和相互關係(這一點非常重要)，講題的時候講出做題的思路(比如為什麼要這樣做，那樣做為什麼不行，或者是什麼啟發了你往這個方向想，這些才是學生最想知道，也是對他們最有用的)就可以了，剩下的留給學生自己琢磨，自己訓練。

喜歡分門別類的問題，可能是初等數學教學遺留下來的通病，學生還特別喜歡把事情這樣分門別類，覺得這樣清楚。然後把這種習慣帶到大學裡，這樣做絕對妨礙高等數學的學習。比如說極限，關鍵是它的定義(這是根本)和幾個重要概念(比如無窮量階的概念)，求極限的關鍵也是幾個重要定理(比如洛必達法則)，還有就是幾個重要極限。根本沒有必要去記(或者去總結)它有幾種型別，函數千千萬，你分得出來有幾種型別嗎？不用非這個功夫，把自己訓練的思路敏捷，思維開闊，見多識廣，才是王道！

春草

恩格斯曾激情讚美微積分是人類精神的最高境界。一位教授出遊歐洲，一位七十多歲的老太竟向他詢問量子問題，這使他非常吃驚，因為牽涉到了他曾經發表過的一偏論文。由此，歐洲人對於科學的濃厚興趣可見一斑。關於龜兔賽跑的故事是這樣的。烏龜先跑到a點，然後兔子追趕，兔子追到a點，烏龜跑到了b點，兔子追到了b點，烏龜又跑到了c點，……，如此反覆迴圈，兔子距離烏龜越來越近，卻總是相差那麼一點點。那麼，兔子究竟能不能追上烏龜？我們來看一下教材中關於涵數極限的定義。一般地，當自變數x無限趨近於常數xo (但x不等於xo)時，如果函式f(x)無限趨近於一個常數a，就說當x趨近於xo時，函式f(x)的極限是a”。如果我們假設兔子在s點追上烏龜，那麼s點就相當於極限a，函式f( x)的值就相當於兔子所到達的位置。由於定義中明確界定自變數x不等於xo，這就意味著函式f(x)的值不等於極限a，於是，兔子的位置不能到達終點s，這就是說，用極限的方式，兔子永遠也無法追上烏龜。儘管函式f(x)的極限是a ，這與兔子距離終點 (s) 相差一點點半毛錢的關係也沒有。這看似一點點的距離，兔子根本無法逾越，就像是牛郎織女隔著銀河，可望而不可及。然而，客觀事實是，兔子一定能夠追上烏龜。如何協調這一矛盾？於是我們設想，年有春夏秋冬，四季分明，水有氣態，液態，固態，物質有層次之分，對應於數應有區域之分。可以將實數分為三個區域。微觀數，宏觀數，超宏觀數。直覺上感知不到，不可測量的數定義為微觀數，例如，以葛立數為分母，宏觀數為分子，這樣的數就可視為微觀數，由於探測不出大小，於宏觀數相比，需要時可以等效為零。微觀數具有量子意義。現在我們就用微觀數來解釋兔子何以能夠追上烏龜。如果一個圓的直徑是微觀數，圓心是點xo，那麼這個圓就是點xo的圓形鄰域。當時間 t 小到恰到好處時，已不能再小，(t也是量子數)這時兔子邁出了最後的一小步，到達了終點s的圓形鄰域之內，就可視為追上了烏龜。當然，根據測不準原理，兔子距離終點s 可能差了一點點 (高介微觀數) 也可能超出了一點點。這就像是美國總統特朗普訪華，到了北京是到了中國，到達上海也算是到了中國，只要越過國境線，都可視為到達了中國。