要不是我學過一點量子力學，還真看不出這有什麼意義。
想了解量子力學（是真正的量子力學，不是營銷號的胡扯）的朋友也可以看一看這篇文章。
剛上大學的學生也可以看一看這篇文章，這對你理解《高等數學》和《線性代數》也有幫助。
本文較為硬核，請酌情跳過部分內容。
不過，我希望你不跳過任何內容。
不知道什麼是本徵方程？
沒關係，你只需要記住：
具體看一下題目中的方程是怎麼體現這一點的：
這可以引出兩個聽起來有些高大上的概念：
本徵值
本徵函式
一頓操作猛如虎，結果就是乘個數。
操作是對本徵函式的操作，也可以說操作物件是本徵函式，也是用本徵函式去乘常數。乘的這個常數，就是本徵值。
說得正經一點，本徵方程就是對某個函式做一個操作之後等於這個函式乘一個常數。
薛定諤：量子力學是本徵值問題。
本徵值問題，聽起來也有些高大上，其實就是已知一個本徵方程，求這個本徵方程的本徵值和本徵函式。
（已知一個“猛如虎”的操作，求滿足“一頓操作猛如虎，結果就是乘個數。”的常數和操作物件。）
在量子力學中，這個已知的本徵方程就是定態薛定諤方程，需要求的本徵值就是原子核外電子的能量，需要求的本徵函式就是電子的波函式。
這個“猛如虎”的操作就是哈密頓算符。
上面的內容已經有一點“真正的量子力學”的樣子了，不過只知道“量子力學是本徵值問題”還不夠，主要是因為對波函式的理解還不夠。
（準確地說，不只是對波函式的理解還不夠，更是對函式的理解還不夠。）
要知道，量子力學的數學基礎是希爾伯特空間，波函式是希爾伯特空間裡的向量。
暫且不要管希爾伯特空間是何方神聖，此時的你只需要知道：
函式就是向量
如果你覺得這是在胡說八道，或者你完全不知道上面這種說法從何而來，那麼你需要了解一下線性代數了。
（線性代數的門檻並不高，能解決“雞兔同籠”問題，就已經可以學習線性代數了。）
學過線性代數的朋友可能會發現：
上面的本徵方程和線性代數里的特徵方程很像。
如果你不瞭解線性代數也沒關係，你只需要知道線性代數中常見的向量是一組數，矩陣表示對向量的操作。
線性代數里的特徵方程也是：
只不過這裡的操作是對特徵向量的操作，也是用特徵向量去乘常數。乘的這個常數，就是特徵值。“猛如虎”的操作就是矩陣。
其實它們不是很像，它們根本就是一回事！
（“本徵”和“特徵”這兩個詞是可以互換的。）
本徵方程和特徵方程是一回事，本徵值和特徵值也是一回事，同樣的，本徵函式和特徵向量也是一回事！
這也是一個聽起來有些高大上的概念，而且它真的很高大上。
不過，此時的你只需要知道線性空間就是一個集合，這個集合中的元素可以進行2種運算，並且這2種運算滿足8條運算定律。
（至於具體是哪2種運算和哪8條運算定律，請向下翻。）
線性空間中的元素被稱為向量。
注意，這裡的向量可不單指有大小和方向的量，只要滿足線性空間的8條運算定律，那就是向量。
函式正好就滿足那8條運算定律，所以才說：
如果你想親自驗證一下函式是否真的滿足那8條運算定律，請參考下圖：
（乍一看好像很複雜，其實你依次看過去就會發現它們都很簡單。）
上面經常提到的“猛如虎”的操作，其實也有個高大上的名字：線性變換，也就是對線性空間中的向量做的操作。
量子力學中的希爾伯特空間也是在線性空間的基礎上演變而來的，所以希爾伯特空間裡的向量也不是簡單的有大小和方向的量。
但願此時的你看到“波函式是希爾伯特空間裡的向量”的時候不會再覺得莫名其妙。
函式是微積分的主角，向量是線性代數的主角，而線性空間統一了函式和向量。
筆者想把丘成桐先生的一句話送給各位讀者：
要學好微積分和線性代數，歸根結底，一切高階的數學都是微積分和線性代數的各種變化。
要不是我學過一點量子力學，還真看不出這有什麼意義。
想了解量子力學（是真正的量子力學，不是營銷號的胡扯）的朋友也可以看一看這篇文章。
剛上大學的學生也可以看一看這篇文章，這對你理解《高等數學》和《線性代數》也有幫助。
本文較為硬核，請酌情跳過部分內容。
不過，我希望你不跳過任何內容。
這是本徵方程不知道什麼是本徵方程？
沒關係，你只需要記住：
具體看一下題目中的方程是怎麼體現這一點的：
這可以引出兩個聽起來有些高大上的概念：
本徵值
本徵函式
一頓操作猛如虎，結果就是乘個數。
操作是對本徵函式的操作，也可以說操作物件是本徵函式，也是用本徵函式去乘常數。乘的這個常數，就是本徵值。
說得正經一點，本徵方程就是對某個函式做一個操作之後等於這個函式乘一個常數。
這和量子力學有什麼關係？薛定諤：量子力學是本徵值問題。
本徵值問題，聽起來也有些高大上，其實就是已知一個本徵方程，求這個本徵方程的本徵值和本徵函式。
（已知一個“猛如虎”的操作，求滿足“一頓操作猛如虎，結果就是乘個數。”的常數和操作物件。）
在量子力學中，這個已知的本徵方程就是定態薛定諤方程，需要求的本徵值就是原子核外電子的能量，需要求的本徵函式就是電子的波函式。
這個“猛如虎”的操作就是哈密頓算符。
上面的內容已經有一點“真正的量子力學”的樣子了，不過只知道“量子力學是本徵值問題”還不夠，主要是因為對波函式的理解還不夠。
（準確地說，不只是對波函式的理解還不夠，更是對函式的理解還不夠。）
要知道，量子力學的數學基礎是希爾伯特空間，波函式是希爾伯特空間裡的向量。
暫且不要管希爾伯特空間是何方神聖，此時的你只需要知道：
函式就是向量
如果你覺得這是在胡說八道，或者你完全不知道上面這種說法從何而來，那麼你需要了解一下線性代數了。
來自線性代數的“巧合”（線性代數的門檻並不高，能解決“雞兔同籠”問題，就已經可以學習線性代數了。）
學過線性代數的朋友可能會發現：
上面的本徵方程和線性代數里的特徵方程很像。
如果你不瞭解線性代數也沒關係，你只需要知道線性代數中常見的向量是一組數，矩陣表示對向量的操作。
線性代數里的特徵方程也是：
只不過這裡的操作是對特徵向量的操作，也是用特徵向量去乘常數。乘的這個常數，就是特徵值。“猛如虎”的操作就是矩陣。
其實它們不是很像，它們根本就是一回事！
（“本徵”和“特徵”這兩個詞是可以互換的。）
本徵方程和特徵方程是一回事，本徵值和特徵值也是一回事，同樣的，本徵函式和特徵向量也是一回事！
函式就是向量
線性空間：函式與向量的統一這也是一個聽起來有些高大上的概念，而且它真的很高大上。
不過，此時的你只需要知道線性空間就是一個集合，這個集合中的元素可以進行2種運算，並且這2種運算滿足8條運算定律。
（至於具體是哪2種運算和哪8條運算定律，請向下翻。）
線性空間中的元素被稱為向量。
注意，這裡的向量可不單指有大小和方向的量，只要滿足線性空間的8條運算定律，那就是向量。
函式正好就滿足那8條運算定律，所以才說：
函式就是向量
如果你想親自驗證一下函式是否真的滿足那8條運算定律，請參考下圖：
（乍一看好像很複雜，其實你依次看過去就會發現它們都很簡單。）
上面經常提到的“猛如虎”的操作，其實也有個高大上的名字：線性變換，也就是對線性空間中的向量做的操作。
量子力學中的希爾伯特空間也是在線性空間的基礎上演變而來的，所以希爾伯特空間裡的向量也不是簡單的有大小和方向的量。
但願此時的你看到“波函式是希爾伯特空間裡的向量”的時候不會再覺得莫名其妙。
最後函式是微積分的主角，向量是線性代數的主角，而線性空間統一了函式和向量。
筆者想把丘成桐先生的一句話送給各位讀者：
要學好微積分和線性代數，歸根結底，一切高階的數學都是微積分和線性代數的各種變化。