o到1間有無數點。二進位制是指開和關。關為不通電，表示O。開為通電為丨。至今無任何人能證明0到丨有多少個點。

（應邀）

首先，我們需要明確定義：什麼是（純）小數？

設 B 是大於等於 2 的自然數，若級數，

滿足，

每個 aᵢ（i=1,2,3,...）是 大於等於 0 並且 小於 B 的自然數；

則稱 d 為 B進位制小數，記為，

其中，aᵢ 稱為 d 的 第i個 小數位。

接下來，我們來證明，命題1： 區間 (0, 1] 內的實數一定可以被 B進位制 小數表示。

證：

如上圖，對 區間 (0, 1] 進行無限分層：

第1層，將 區間 (0, 1] 均勻分為 B 段：(0, 1/B], (1/B, 2/B], ... ((B-1)/B, 1] ，並且分別標記為 0, 1, ..., B-1；第2層，將 第1層 的每個 區間 (n/B, (n+1)/B] 均勻分為 B 段：(n/B, n/B²], (n/B², 2n/B²], ... ((B-1)n/B², (n+1)/B] ，並且分別標記為 0, 1, ..., B-1；...

這樣，給定 區間 (0, 1] 中的任意 實數 x，對於任意 第i層，x 總會落在 某個 標記為 aᵢ 的 區間內，於是 x 就對應一串 數字 a₁, a₂, a₃, ...。對於不同的 x 因為 分層是無限，所以對應的 數字串也必然不同。於是我們就用 一串數字 a₁, a₂, a₃, ... 表示 每個 x。

而，這數字串 a₁, a₂, a₃, ... 中的 每個數字 都大於等於 0 小於 B 的，故 它們 又對應 一個 小數 0. a₁a₂a₃...。

綜上，我們就證明了 每個 x 都可以用 一個 小數 0. a₁a₂a₃... 表示。▌

若小數 d=0.a₁a₂a₃... 的某個小數位 aᵣ (≠0) 之後的所有小數位 都是 0，即，

則稱 d 是有限小數，記為 d=0.a₁a₂a₃...aᵣ，否則稱為無限小數。

令 g=B-1 ，對於 有限小數 d=0.a₁a₂a₃...aᵣ，考慮，

有，

於是，

這說明，命題2：任意一個 有限小數 都可以表示為 一個 以 g 為迴圈節的 無限迴圈小數。

由於，不同的 無限小數 一定不同，於是 將 命題1 和 命題2 相結合，我們可以得到：區間 (0, 1] 內的任意實數 唯一對應 一個 無限小數；

另一方面，對於任意一個無限小數 d=0.a₁a₂a₃...，有，

根據 實數的 完備性（即，實數是連續的、沒有漏洞的）得到：任意 無限小數 必然唯一對應 一個 區間 (0, 1] 內的 實數；

注：實數因連續，又稱為 連續系統，簡稱 連續統。

綜上，我們就得到，命題3：區間 (0, 1] 內的實數 和 B進位制無限小數 一一對應。

最後，說點額外的話題。

對於任意集合 A ， 我們將它的元素個數 稱為 勢，記為 |A|。

當 A 是有限集合 時，將 元素一個個數出來就是 A 的勢；當 A 是無限集合時，我們雖然不能數盡元素 ，但可以用另外一個無限集合 B 作為尺度 來度量 A，這時，若可以建立 A 與 B 之間的一一對應關係，則我們就認為 它們 的 勢相等，即，|A|=|B|，這稱為 等勢。等勢的定義對於 有限集 同樣有效。

命題3 說明， (0, 1] 和 全體 B進位制無限小陣列成的集合 等勢。

更進一步，用 ω 表示全體自然數 ℕ ，有 ω = {0, 1, 2, ...}，若 把 ω 當做大於全體自然數的一種數，稱為 基數，則 ω 包含小於它的所有自然數。受此啟發，對於任意自然數 n，可以定義 n = {0, 1, 2, ..., n-1}，即 包含 小於 n 的所有自然數，這樣 n 也是 基數。

基數之間的大小關係等價於集合與元素的所屬關係，即，基數 u < v 當且僅當 u ∈ v。對於任意基數 w，若 A 和 w 等勢，我們就稱 A 的勢為 w。顯然 |ℕ| = ω。

當 |A| ≤ ω 時，稱 A 可數（可列），否則 A 不可數（不可列）。

有 c=2ᐜ ，是比 ω 更大的 基數，若 用 P(ω) 表示 ω 冪集（即，全體 子集組成的 集族），則 可以證明：|ℝ|=|(0, 1]| = || = |P(ω)|=c。

ω 是最小的 無限基數，可以證明 全體無限基數 是 可列的，於是 將它們從 小到大，依次排開，分別標記為：ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, ℵ₃, ...，顯然 ω=ℵ₀，又知道 c > ω，那麼問題來了：

c=ℵ₁ 嗎？

這個就是著名的 連續統假設。它已經被證明 在 ZFC 公理系統下，既不能證真也無法證偽，它是 哥德爾不完全定理的 一個 例項。

線段0到1之間所有點都可以用一十進位制實數表示，如果需要證明，自行搜尋一個十進位制實數，必然有且僅有一個二進位制實數與之對應。這是由十進位制和二進位制的定義可以證明的所以，題主的問題解決。