高維歐氏空間當然有保角變換. 但是Liouville定理告訴我們, 三維以上的歐氏空間中的保角變換(共形對映)一定只能是下列的基本變換的複合: 等距, 位似, 和關於一個球面的反演變換, 例如關於球心在原點的單位球面的反演變換.

Liouville的這個定理證明其實也不復雜. 假定是開集, 是共形對映. 因為沒有臨界點, 所以不妨假設它是微分同胚(一對一的). 令是普通的歐氏度規. 共形意味著存在一個函式使得. 透過適當的平移和位似變換, 又可以進一步假定某個球體. 這樣, 是微分同胚, 因而實際上度規同等距. 這表示它們的曲率張量必為零. 直接計算Ricci曲率得到滿足的偏微分方程組, 經過一些簡單的討論會發現必須形如. 因為這恰好是某個上述型別的變換的共形因子, 所以可以斷言是上述的基本變換的複合.

所以只有對二維平面上的區域, 才會有不同於上述型別的共形變換. 這是複變函式的幾何理論要研究的內容.

最後, Cauchy-Riemann方程組當然有向高維的推廣, 但在高維情形下它們與共形變換就失去了關係.