既然如此，那我來總結一下自己學的數學知識的基本思想吧。

我學的數學知識大致分為3個部分。

第一個部分是在我的高中時代，我除了學習基本的課程外，還學習了一本數學科普書裡的知識，這本書是天津商學院的吳振奎老師寫的《用物理方法解決數學問題》。從這本書裡閱讀中，我形成了自己對數學知識的基本思想：找到數學知識的物理背景。比如我看到一個求和公式的時候，我往往會想到這是不是可以透過構造一個物理系統的重心來實現。

第二部分是在我的大學時代，我學習了北京師範大學物理系教授梁燦彬主講的《微分幾何入門與廣義相對論》。在這個過程中，我學習了微分幾何相關的數學知識。在這個階段，我形成了對數學的基本思想：區域性與整體是可以對偶的，區域性的幾何與整體的拓撲之間存在聯絡。最典型的例子就是高斯——波涅——陳定理。

第三部分是在我的工作期間，我參與了一些政府專案，主要是做分析儀器，尤其是質譜儀。在這個過程中，我需要與質譜儀背後的數學知識打交道——尤其是用電腦來模擬計算mathieu方程的數值解，給出離子的運動方程等等。這個時候其實我是在學習並且應用數學知識。我最深的感覺是：數學可以與電腦結合起來，因為電腦比人腦的計算速度快，我們可以編寫程式讓電腦幫助我們做計算。

以上三個部分是我對數學的總結思想，屬於我個人的經歷。當然我也聽過一些數學講演，也得到了其他的關於數學的想法，這裡也可以一起談談。比如，我在聽夏志宏老師講動力系統的時候，我發現動力系統可以與隨機過程聯絡在一起來解決數論的問題，這給我的震撼很大。因此，我覺得表面上不相關的數學工具背後其實是相通的。

首先是，對數學思想方法有清楚的認識。

1. 函式與方程的思想 函式與方程的思想是中學數學最基本的思想。所謂函式的思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數學中的數量關係，建立函式關係或建構函式，再運用函式的影象與性質去分析、解決相關的問題。而所謂方程的思想是分析數學中的等量關係，去構建方程或方程組，透過求解或利用方程的性質去分析解決問題。

2. 數形結合的思想 數與形在一定的條件下可以轉化。如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景，可以藉助幾何特徵去解決相關的代數三角問題；而某些幾何問題也往往可以透過數量的結構特徵用代數的方法去解決。因此數形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

4 ．轉化與化歸的思想 轉化與化歸市中學數學最基本的數學思想之一，數形結合的思想體現了數與形的轉化；函式與方程的思想體現了函式、方程、不等式之間的相互轉化；分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，所以以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現。

常見的轉化方法有

（ 1 ）直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題 。

（ 2 ）換元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較複雜的函式、方程、不等式問題轉化為易於解決的基本問題。

（ 3 ）數形結合法：研究原問題中數量關係（解析式）與空間形式（圖形）關係，透過互相變換獲得轉化途徑 。

（ 4 ）等價轉化法：把原問題轉化為一個易於解決的等價命題，達到化歸的目的 。

（ 5 ）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，並證明特殊化後的問題，使結論適合原問題 .

（ 6 ）構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變為易於解決的問題 。

（ 7 ）座標法：以座標系為工具，用計算方法解決幾何問題也是轉化方法的一個重要途徑

轉化與化歸的指導思想。

（ 1 ）把什麼問題進行轉化，即化歸物件。

（ 2 ）化歸到何處去，即化歸目標。

（ 3 ）如何進行化歸，即化歸方法。

化歸與轉化思想是一切數學思想方法的核心 。

第二是 數學解題中的的基本方法

1. 觀察與實驗

（ 1 ）觀察法：有目的有計劃的透過視覺直觀的發現數學物件的規律、性質和解決問題的途徑。

（2）實驗法：實驗法是有目的的、模擬的創設一些有利於觀察的數學物件，透過觀察研究將複雜的問題直觀化、簡單化。它具有直觀性強，特徵清晰，同時可以試探解法、檢驗結論的重要優勢。

2. 比較與分類

（ 1 ）比較法

是確定事物共同點和不同點的思維方法。在數學上兩類數學物件必須有一定的關係才好比較。我們常比較兩類數學物件的相同點、相異點或者是同異綜合比較。

（ 2 ）分類的方法

分類是在比較的基礎上，依據數學物件的性質的異同，把相同性質的物件歸入一類，不同性質的物件歸為不同類的思維方法。

3 ．特殊與一般

（ 1 ）特殊化的方法

特殊化的方法是從給定的區域內縮小範圍，甚至縮小到一個特殊的值、特殊的點、特殊的圖形等情況，再去考慮問題的解答和合理性。

（ 2 ）一般化的方法

4. 聯想與猜想

（ 1 ）類比聯想

類比就是根據兩個物件或兩類事物間存在著的相同或不同屬性，聯想到另一事物也可能具有某種屬性的思維方法。

透過類比聯想可以發現新的知識；透過類比聯想可以尋求到數學解題的方法和途徑：

（ 2 ）歸納猜想

牛頓說過：沒有大膽的猜想就沒有偉大的發明。猜想可以發現真理，發現論斷；猜想可以預見證明的方法和思路。初中數學主要是對命題的條件觀察得出對結論的猜想，或對條件和結論的觀察提出解決問題的方案與方法的猜想。

歸納是對同類事物中的所蘊含的同類性或相似性而得出的一般性結論的思維過程。歸納有完全歸納和不完全歸納。完全歸納得出的猜想是正確的，不完全歸納得出的猜想有可能正確也有可能錯誤，因此作為結論是需要證明的。關鍵是猜之有理、猜之有據。

5. 換元與配方

（ 1 ）換元法 解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究物件，將問題移至新物件的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化，變得容易處理。 換元法又稱輔助元素法、變數代換法。透過引進新的變數，可以把分散的條件聯絡起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯絡起來。或者變為熟悉的形式，把複雜的計算和推證簡化。 我們使用換元法時，要遵循有利於運算、有利於標準化的原則，換元后要注重新變數範圍的選取，一定要使新變數範圍對應於原變數的取值範圍，不能縮小也不能擴大。 你可以先觀察算式，你可以發現這種要換元法的算式中總是有相同的式子，然後把他們用一個字母代替，算出答案，然後答案中如果有這個字母，就把式子帶進去，計算就出來啦。

（ 2 ）配方法

配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，透過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，並且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恆等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用於：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函式、二次代數式的討論與求解。

6. 構造法與待定係數法

（1）構造法所謂構造性的方法就是數學中的概念和方法按固定的方式經有限個步驟能夠定義的概念和能夠實現的方法。常見的有建構函式，構造圖形，構造恆等式。平面幾何裡面的添輔助線法就是常見的構造法。構造法解題有：直接構造、變更條件構造和變更結論構造等途徑。

（2）待定係數法：將一個多項式表示成另一種含有待定係數的新的形式，這樣就得到一個恆等式。然後根據恆等式的性質得出係數應滿足的方程或方程組，其後透過解方程或方程組便可求出待定的係數，或找出某些係數所滿足的關係式，這種解決問題的方法叫做待定係數法。

7. 公式法與反證法

（ 1 ）公式法

利用公式解決問題的方法。初中最常用的有一元二次方程求根時使用求根公式的方法；完全平方公式的方法等。

（ 2 ）反證法是“間接證明法”一類，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾，就可以肯定命題的結論的正確性，從而使命題獲得了證明。

總之，數學應用問題較好地考察了學生閱讀理解能力與日常生活體驗，同時又考察了學生獲取資訊後的抽象概括與建模能力，判斷決策能力。中考數學應用問題熱點題型主要包括生活、統計、測量、設計、決策、銷售、開放探索、跨學科等等，中考在強化學生應用意識和應用能力方面發揮及其良好的導向功能。這就要求我們在平時教學中善於挖掘課本例題、習題的潛在的應用功能。巧妙地將課本中具有典型意義的數學問題迴歸生活、生產的原型，創設一個實際背景，改造成有深刻數學內涵的實際問題，以增強應用意識，發展數學建模能力。

第三 解題策略提高數學學習效率

（1）認真分析問題，找解題準切入點

　　由於數學問題紛繁複雜，學生容易受定勢思維的影響，這樣就會響解題思路造成很大的影響。為此，這時教師要給予學生正確指導，幫助學生進行思路的調整，對題目進行重新認真的分析，將切入點找準後，問題就能遊刃而解了。

（2）發揮想象力，藉助面積出奇制勝

　　面積問題是數學中常出現的問題，在面積定義及相關規律中，蘊含著深刻的數學思想，如果學生能充分了解其中的韻味，能夠熟練的掌握其中的數學論證思維，就有可能在其他數學問題中藉助面積，出奇制勝順利實現解題。由於幾何圖形的面積與線段、角、弧等有密切的聯絡，所以用面積法不但可證各種幾何圖形面積的等量關係，還可證某些線段相等、線段不等、角的相等以及比例式等多種型別的幾何題。

（3）巧取特殊值，以簡代繁

　　初中數學雖然是基礎數學，但是這並不意味著就沒有難度，特別是在素質教育下，從培養學生綜合素質能力的角度出發，初中數學越來越重視數學思維的培養，因此在很多數學問題的設定上，都進行了相當難度的調整，使得數學問題顯得較為繁雜，單一的思維或者解題方式，在有些題目面前會顯得較為艱難。如有些數學問題是在一定的範圍內研究它的性質，如果從所有的值去逐一考慮，那麼問題將不勝其繁甚至陷入困境。在這種情況下，避開常規解法，跳出既定數學思維，就成了解題的關鍵。　　

（4）巧妙轉換，過渡求解法

　　在解數學題時，即要對已知的條件進行全面分析，還要善於將題目中的隱性條件挖掘出來，將數學中各知識之間的聯絡巧妙的運用起來，用全面、全新的視角來解決問題。

　　綜上所述，數學解題存在很強的靈活性。有的數學題不只一種解法，而有多種解法，有的數學題用常規方法解決不了，要用特殊方法。因此，解數學題要注意它的靈活性和技巧性。解題技巧在升學考試中至關重要，不能忽視。數學教師要注意對解題技巧的鑽研，並鼓勵學生髮散思維，尋找解題技巧，提高解題效率，增強學習數學的能力。