裡奇流（Ricci flow）是微分幾何裡描述一個黎曼流形的度量隨著時間變化的過程，滿足如下方程：

g_{ij} 是流形的黎曼度量（Riemannian metric），Ric是流形的裡奇曲率（Ricci curvature）。最早於1981年， Richard S. Hamilton引入裡奇流來對流形進行分類。現在，它已經成為了幾何分析裡最重要的概念之一，是佩雷爾曼（Perelman）解決龐加萊（Poincaré）猜想和Simon,Schoen等證明微分球面定理的主要工具。

粗略地說 ，裡奇流會使得正曲率空間收縮，而負曲率空間擴張，直到這些地方變的非常均勻，可能會把流形分為幾個對稱的分支。正如陶哲軒在"Ricci Flow"（III78. 普林斯頓數學指南第一卷，齊民友譯）一文中所介紹的,在2維情形下，裡奇流總是終結為常曲率空間，“可能為正（好像球面），為負（好像雙曲空間），為0（好像柱面）”。但是有可能會發展出奇性：比如，對一個光滑的球面作裡奇流，則球面會以一定速率收縮，直到變成一個點。如下圖（來自於維基百科Ricci flow）：

這裡所說的曲率是指流形的標量曲率(Scalar curvature)，常見的流形像球面為正常曲率空間，而馬鞍面為負曲率空間，歐式空間為0曲率空間。

龐加萊猜想是是克雷數學研究所懸賞的七個千禧年難題之一，是拓撲裡的一個重要命題，由龐加萊於1902年提出。現已由俄羅斯數學家佩雷爾曼運用裡奇流作出了證明，他在2002-2003年貼在arXiv上的三篇文章簡略地給出了Poincaré猜想和廣義的Thurston幾何化猜想的證明；隨後，Morgan和田剛，曹懷東和朱喜平，Kleiner和Lott分別獨立地補充了其中的證明細節，使得Poincaré猜想得到了完整的解決。這也是目前唯一得到解決的千禧年難題。

除了裡奇流，微分幾何裡還有其他型別的曲率流，像平均曲率流、cross曲率流等，是近年來幾何分析裡發展出的最令人激動數學工具之一 。