不能取遍（0，1］中的所有實數，但可以逼近（0，1］中的任何一個實數。

如果可以取遍的話，意思就是說，對於任何一個大於0小於1的數x，都存在某兩個自然數m和n，使得x = m/n。實際上，這就是說x是有理數。因此，題主問的就是：是不是0和1之間所有的數都是有理數？

很容易就可以證明出來，不是。

例如考慮0.5的平方根，即x^2 = 1/2。這個x有可能表示成某兩個自然數的商m/n嗎？

假如可以，那麼x^2 = 1/2 = m^2/n^2，也就是說2*m^2 = n^2。由於m是自然數，所以m^2也是自然數，n^2是一個自然數的二倍，即是一個偶數。奇數的平方仍然是奇數，不可能是偶數，所以n必然是一個偶數。

很好。不過假如我們把n的一半寫成q，那麼n^2 = (2q)^2 = 4*q^2，m^2 = 2*q^2。你會發現，m^2也是一個偶數，根據同樣的推理，m也是一個偶數，不妨寫成m = 2p。

現在問題來了，m和n都是偶數，那麼它們的分數m/n就可以通分，把2這個共同的因子除掉，變成p/q。但是根據同樣的道理，p和q仍然都是偶數，它們又可以通分。這個通分的過程會無限持續下去，你永遠都找不到一個既約分數。但是，既然m和n都是有限大的自然數，它們相除怎麼可能沒有既約分數呢？

因此結論只能是，假定的前提錯了，1/2的平方根不能表示成m/n，也就是說它是個無理數。

根據同樣的推理方法，你很容易證明1/3的平方根、1/5的平方根、1/2的立方根等等很多數都是無理數。

不過，對於任意一個無理數，你總是可以用一系列的有理數來逐漸逼近它。例如1/2的平方根等於0.7071067811865475……，這就是說，你可以構造這樣一個數列：0.7, 0.70, 0.707, 0.7071, 0.70710, 0.707106, ……這個數列以1/2的平方根為極限。因此，透過有理數，你還是可以對無理數獲得相當程度的瞭解。

在區間(0，1】中，有無窮多個數，分佈著有理數以及無理數。我們把區間無窮等分，那麼，1/n,2/n, 3/n,………,n/n 當n趨向於∞時，就會分別對應這無窮多個數。每個數的值對應從座標原點到這些數所在位置的距離，各個數在座標軸上均勻的分佈。因此有2/n- 1/n = 3/n- 2/n=……，=n/n-(n-1)/n，就是說前後兩數的差是相同的。然而在事實上，我們還知道有可能兩數的差是有理數減去有理數仍是有理數，也可能是有理數減去無理數仍是無理數，或者是無理數減去無理數照樣是無理數。這就與前後兩數的差是相同的矛盾。由此看來，(0，1】區間中的數應該全是有理數，前後兩數的差才能相同，無理一詞恰好表明無理數沒有存在的理由。例如計算機中無理數的取值實際上都是有理部分，特別的，正方形的對角線是固定值不變，而根號2的值卻是無限不迴圈，這就違背了事實。至於題目的答案留給讀者，歡迎指正。

……春草