無理數是指無限不迴圈小數，即不可以用兩個整數比表示。

相反地，有理數可以用兩個整數的比值表示。

謹此以反證法證明π是無理數

假設π是有理數，則π=a/b (a,b為自然數)

令：f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!）若：0<x<a/b

則：0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!）

0<sinx<1

以上兩式相乘得：

0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)

當n充分大時，在[0，π]區間上的積分有

0<∫f(x)sinxdx<[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 ①

又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n) (表示偶數階導數)

由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n

故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數

因此，F(x)和F(π)也都是整數

又因為

d[F"(x)sinx-F(x)cosx]/dx

=F"(x)sinx+F"(x)cosx-F"(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有：

∫f(x)sinxdx (上限為π，下限為0)

=[F"(x)sinx-F(x)cosx]

=F(π)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]區間上的積分為整數，這與①式矛盾

所以π不是有理數，又因為它是實數，故π是無理數。

另外，用泰勒展開級數也是可以證明其是無理數。這裡不加以證明。