e^iθ = cosθ + isinθ
這個公式有個眾所周知的特殊形式：e^iπ+1=0，把五個最常見的數學常數0,1,i,π,e組成了一個等式。
尤拉最初究竟是怎麼想到這個公式的可能已很難確知，一般說法是在解一個特殊微分方程時發現了下列等式左右均為該方程的解：
2cosθ = e^iθ + e^i-θ
2sinθ = e^iθ - e^i-θ
具體尤拉是如何敏銳的發現等式右邊是解，就不得而知了。
需要指出，尤拉時代的數學界對複數已經有一定認知，但還沒建立完整的理論，這要到半個世紀後的高斯時代才完善。
對於√-1，古代波斯數學家花剌子米在解一元二次方程時就有發現負數開根號的問題，人們長期以來對比極為費解，稱其為“詭辯量”，但又離不開它，比如文藝復興時期的義大利數學家卡丹（三次方程求根公式的第二發明人）就表示“既不能理解負數開平方根，又能心安理得的使用它”。
笛卡爾正式將負數開平方命名為：虛數（imaginay number），意思是“想象中的數”，尤拉用首字母i來表示虛數單位元√-1，在那個時代，使用虛數/複數進行簡單運算已經很普遍，但運用在指數上則是尤拉的首創。
對於當時的人來說，虛數本身就夠抽象的了，放在指數上更加難以理解，實際上你已根本不可能透過直觀的方式去“理解”，唯有徹底和“直觀”說byebye，純粹的透過數學推理去掌握才是最簡單的方式。
據說當時另一個大數學家好像是拉格朗日表示不能理解，歐拉回了一封信，拉格朗日看後立刻就恍然大悟。尤拉給出了一個非常非常簡明的證明，任何一個掌握微積分入門的極限知識的高三或大一學生能應該可以理解。
需要指出尤拉的證明確實是對的，但不夠嚴謹，因為嚴謹的微積分語言要等到一百年後的柯西和魏爾斯特拉斯。
尤拉給出的證明如下：
令α=θ/n，根據德莫夫定理，有：
cosθ+isinθ =（cosα+isinα）ⁿ
令n趨於∞，則α趨於0，此時cosα趨於1，sinα趨於α，於是：
=（1+iα）ⁿ =（1+iθ/n）ⁿ
令δ=1/n，由於δ趨於0，根據二項式定理知道（1+δ）^k 趨於 1+kδ，令k=iθ，則有：
cosθ+isinθ
=（cosα+isinα）ⁿ
=（1+iα）ⁿ
=（1+iθ/n）ⁿ
=（（1+δ）^iθ）ⁿ
= （（1+1/n）ⁿ）^iθ
= e^iθ
證畢。
e^iθ = cosθ + isinθ
這個公式有個眾所周知的特殊形式：e^iπ+1=0，把五個最常見的數學常數0,1,i,π,e組成了一個等式。
尤拉最初究竟是怎麼想到這個公式的可能已很難確知，一般說法是在解一個特殊微分方程時發現了下列等式左右均為該方程的解：
2cosθ = e^iθ + e^i-θ
2sinθ = e^iθ - e^i-θ
具體尤拉是如何敏銳的發現等式右邊是解，就不得而知了。
需要指出，尤拉時代的數學界對複數已經有一定認知，但還沒建立完整的理論，這要到半個世紀後的高斯時代才完善。
對於√-1，古代波斯數學家花剌子米在解一元二次方程時就有發現負數開根號的問題，人們長期以來對比極為費解，稱其為“詭辯量”，但又離不開它，比如文藝復興時期的義大利數學家卡丹（三次方程求根公式的第二發明人）就表示“既不能理解負數開平方根，又能心安理得的使用它”。
笛卡爾正式將負數開平方命名為：虛數（imaginay number），意思是“想象中的數”，尤拉用首字母i來表示虛數單位元√-1，在那個時代，使用虛數/複數進行簡單運算已經很普遍，但運用在指數上則是尤拉的首創。
對於當時的人來說，虛數本身就夠抽象的了，放在指數上更加難以理解，實際上你已根本不可能透過直觀的方式去“理解”，唯有徹底和“直觀”說byebye，純粹的透過數學推理去掌握才是最簡單的方式。
據說當時另一個大數學家好像是拉格朗日表示不能理解，歐拉回了一封信，拉格朗日看後立刻就恍然大悟。尤拉給出了一個非常非常簡明的證明，任何一個掌握微積分入門的極限知識的高三或大一學生能應該可以理解。
需要指出尤拉的證明確實是對的，但不夠嚴謹，因為嚴謹的微積分語言要等到一百年後的柯西和魏爾斯特拉斯。
尤拉給出的證明如下：
令α=θ/n，根據德莫夫定理，有：
cosθ+isinθ =（cosα+isinα）ⁿ
令n趨於∞，則α趨於0，此時cosα趨於1，sinα趨於α，於是：
cosθ+isinθ =（cosα+isinα）ⁿ
=（1+iα）ⁿ =（1+iθ/n）ⁿ
令δ=1/n，由於δ趨於0，根據二項式定理知道（1+δ）^k 趨於 1+kδ，令k=iθ，則有：
cosθ+isinθ
=（cosα+isinα）ⁿ
=（1+iα）ⁿ
=（1+iθ/n）ⁿ
=（（1+δ）^iθ）ⁿ
= （（1+1/n）ⁿ）^iθ
= e^iθ
證畢。