最長上升子序列問題是各類資訊學競賽中的常見題型，也常常用來做介紹動態規劃演算法的引例，筆者接下來將會對POJ上出現過的這類題目做一個總結，並介紹解決LIS問題的兩個常用演算法(n^2)和(nlogn).
問題描述:給出一個序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7....an,求它的一個子序列（設為s1,s2,...sn），使得這個子序列滿足這樣的性質，s1<s2<s3<...<sn並且這個子序列的長度最長。輸出這個最長的長度。（為了簡化該類問題，我們將諸如最長下降子序列及最長不上升子序列等問題都看成同一個問題，其實仔細思考就會發現，這其實只是<符號定義上的問題，並不影響問題的實質）
例如有一個序列:1 7 3 5 9 4 8,它的最長上升子序列就是 1 3 4 8 長度為4.
演算法1(n^2):我們依次遍歷整個序列，每一次求出從第一個數到當前這個數的最長上升子序列，直至遍歷到最後一個數字為止，然後再取dp數組裡最大的那個即為整個序列的最長上升子序列。我們用dp[i]來存放序列1-i的最長上升子序列的長度，那麼dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 顯然dp[1]=1,我們從i=2開始遍歷後面的元素即可。
下面是模板：
//最長上升子序列(n^2)模板
//入口引數：1.陣列名稱 2.陣列長度（注意從1號位置開始）
template<class T>
int LIS(T a[],int n)
{
int i,j;
int ans=1;
int m=0;
int *dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
m=0;
for(j=1;j<i;j++)
if(dp[j]>m&&a[j]<a[i])
m=dp[j];
}
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
return ans;
演算法2(nlogn):維護一個一維陣列c，並且這個陣列是動態擴充套件的，初始大小為1，c[i]表示最長上升子序列長度是i的所有子串中末尾最小的那個數，根據這個數字，我們可以比較知道，只要當前考察的這個數比c[i]大，那麼當前這個數一定能透過c[i]構成一個長度為i+1的上升子序列。當然我們希望在C陣列中找一個儘量靠後的數字，這樣我們得到的上升子串的長度最長，查詢的時候使用二分搜尋，這樣時間複雜度便下降了。 模板如下：
//最長上升子序列nlogn模板
//入口引數:陣列名+陣列長度，型別不限，結構體型別可以透過過載運算子實現
//陣列下標從1號開始。
/**//////////////////////////BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM////////////////////////////
int bsearch(T c[],int n,T a)
int l=1, r=n;
while(l<=r)
int mid = (l+r)/2;
if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] ) return mid+1; // >&&<= 換為: >= && <
else if( a < c[mid] ) r = mid-1;
else l = mid+1;
int LIS(T a[], int n)
int i, j, size = 1;
T *c=new T[n+1];
c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
for(i=2;i<=n;++i)
if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 換為: <
else if( a[i] >c[size] )
j=++size; // > 換為: >=
else
j = bsearch(c, size, a[i]);
c[j] = a[i]; dp[i] = j;
return size;
最長上升子序列問題是各類資訊學競賽中的常見題型，也常常用來做介紹動態規劃演算法的引例，筆者接下來將會對POJ上出現過的這類題目做一個總結，並介紹解決LIS問題的兩個常用演算法(n^2)和(nlogn).
問題描述:給出一個序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7....an,求它的一個子序列（設為s1,s2,...sn），使得這個子序列滿足這樣的性質，s1<s2<s3<...<sn並且這個子序列的長度最長。輸出這個最長的長度。（為了簡化該類問題，我們將諸如最長下降子序列及最長不上升子序列等問題都看成同一個問題，其實仔細思考就會發現，這其實只是<符號定義上的問題，並不影響問題的實質）
例如有一個序列:1 7 3 5 9 4 8,它的最長上升子序列就是 1 3 4 8 長度為4.
演算法1(n^2):我們依次遍歷整個序列，每一次求出從第一個數到當前這個數的最長上升子序列，直至遍歷到最後一個數字為止，然後再取dp數組裡最大的那個即為整個序列的最長上升子序列。我們用dp[i]來存放序列1-i的最長上升子序列的長度，那麼dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 顯然dp[1]=1,我們從i=2開始遍歷後面的元素即可。
下面是模板：
//最長上升子序列(n^2)模板
//入口引數：1.陣列名稱 2.陣列長度（注意從1號位置開始）
template<class T>
int LIS(T a[],int n)
{
int i,j;
int ans=1;
int m=0;
int *dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
m=0;
for(j=1;j<i;j++)
{
if(dp[j]>m&&a[j]<a[i])
m=dp[j];
}
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
}
return ans;
}
演算法2(nlogn):維護一個一維陣列c，並且這個陣列是動態擴充套件的，初始大小為1，c[i]表示最長上升子序列長度是i的所有子串中末尾最小的那個數，根據這個數字，我們可以比較知道，只要當前考察的這個數比c[i]大，那麼當前這個數一定能透過c[i]構成一個長度為i+1的上升子序列。當然我們希望在C陣列中找一個儘量靠後的數字，這樣我們得到的上升子串的長度最長，查詢的時候使用二分搜尋，這樣時間複雜度便下降了。 模板如下：
//最長上升子序列nlogn模板
//入口引數:陣列名+陣列長度，型別不限，結構體型別可以透過過載運算子實現
//陣列下標從1號開始。
/**//////////////////////////BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM////////////////////////////
template<class T>
int bsearch(T c[],int n,T a)
{
int l=1, r=n;
while(l<=r)
{
int mid = (l+r)/2;
if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] ) return mid+1; // >&&<= 換為: >= && <
else if( a < c[mid] ) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
}
template<class T>
int LIS(T a[], int n)
{
int i, j, size = 1;
T *c=new T[n+1];
int *dp=new int[n+1];
c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
for(i=2;i<=n;++i)
{
if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 換為: <
else if( a[i] >c[size] )
j=++size; // > 換為: >=
else
j = bsearch(c, size, a[i]);
c[j] = a[i]; dp[i] = j;
}
return size;
}