我來回答這個問題。這個問題提出的很有趣，首先這個問題涉及到遠古20000年至今還被廣泛應用；其次這個問題橫亙哲學、數學、現代計算機技術、通訊技術等諸多學科，涉獵廣泛，作為一個科普題目來說，非常有意義。

“模2運算”在我們上大學裡應用數學裡進位制轉換裡涉及到，學習計算機及相關專業的基礎學科裡也學習到。

一、什麼是模？什麼是“模2運算”

那麼什麼是“模”呢？“模”是英語“modulo”的音譯，也簡稱為“mod”，作為名詞是“模；模數;係數；模量”的意思；作為介詞是“對…取模”的意思；而作為動詞是“按模計算”的意思。是不是一頭霧水了？那麼說中國話，模就是對一個整數求餘數的運算，也稱為“取模運算”或者“取餘運算”，這兩種運算不太一樣，當被“模”的整數為正數時，兩種運算是一樣的，當“模”的整數為負數時，兩種運算就不一樣了，這裡就不展開討論了。為了好理解，我們可以理解為“模”就是對一個整數求餘數的那個被除數。當這個被除數為“2”時，我們就稱為“模2運算”。比如：5 MOD 2 餘 1，這裡2就是模數。

二、“模2運算”原理是什麼？

其實“模 2運算”原理很簡單 ，就是數學中二進位制的四則運算，包含“加”、“減”、“乘”“除”，其規則和我們十進位制里加減乘除四則運算規則是一樣的，而不一樣的是不考慮借位或進位的問題（有進位時，保留計算本位數 ，而不向前一位進位；減法時不夠減，相當於從前一位借1當2，而前一位並不減少）這樣，“模2運算”後，結果具有隻針對本位有效，而對上一位、下一位不產生影響的特點。

模2加法：

0+0 =0，1+0 = 0+1 =1，1+1=0

模 2加法是 以最後位對齊豎列相加，根據模2運演算法則，可以簡單總結為：奇數個1相加得1，偶數個1相加得0

模2減法：

0-0 = 0，1-1 = 0，1-0=1，0-1=1

第四式代表了模2減法的特徵，從它也可得出+1=-1的結論

模2乘法：

一位數的模2乘法定義如下：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1

多位數的模2乘法與普通乘法一樣演算,唯一的區別是，部分積相加時按模2加，即奇數個1相加得1，偶數個1相加得0。

模2除法：

模2除法是模2乘法的逆運算。模2除法具有下列三個性質：

1、當最後餘數的位數小於除數位數時，除法停止。

2、當被除數的位數小於除數位數時，則商數為0，被除數就是餘數。

3、只要被除數或部分餘數的位數與除數一樣多，且最高位為1，不管其他位是什麼數，皆可商1。

三、“模 2運算”是為什麼發明的？

“模2運算”是為了機器運算而發明的。

這是德國天才大師萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 - 1716）受中國《周易》影響和啟發，為了解決機器運算的方法，發明了完整的二進位制運演算法則。萊布尼茨在1679年3月15日記錄下他的二進位制體系的同時，還設計了一臺可以完成機械計算的機器。這也為200多年以後電子計算機的發明奠定了基礎。

四、現在“模2運算”主要應用

“模2運算”應用十分廣泛，主要應用於資料儲存及資料傳輸、資料通訊時對資料正確性的校驗方面。著名的通訊協議X.25的FCS(幀檢錯序列)採用的是CRC-CCITT，WinRAR、NERO、ARJ、LHA等壓縮工具軟體採用的是CRC32，磁碟驅動器的讀寫採用了CRC16，通用的影象儲存格式GIF、TIFF等也都用CRC作為檢錯手段。

由於我們現代的通訊技術都是採用數字技術，在傳輸中，存在著模-數、數-模多次轉換 。在數字傳輸中，都是將各種資訊轉換為二進位制進行傳輸的。傳輸有可能是有線傳輸，也可能是無線傳輸。受傳輸手段或者傳輸距離等影響，不可避免產生干擾，對傳輸質量肯定要帶來影響。於是，人們就發明了一個在傳輸資料的同時，加上一個“校驗資料”。現在數字通訊採用的是CRC（Cyclic Redundancy Check）校驗方法也叫迴圈冗餘校驗方法。

其特點是:檢錯能力強，開銷小，易於用編碼器及檢測電路實現。從其檢錯能力來看，它所不能發現的錯誤的機率僅為0.0047%以下。從效能上和開銷上考慮，均遠遠優於奇偶校驗及算術和校驗等方式。

由於篇幅有限，我就不一一展開說明，以後我會以文章形式進行科普。

移位暫存器的每一級只可能有兩種不同的存數(或狀態)，分別用0和1來表示。這裡， 0和1不再具有一般數量的含義，而只具有邏輯含義。對於這樣一種只包含0和1兩個元素(符號)的集合(叫做二元集)來說，普通的四則運算不再適用，因而必須重新規定一種新的運算規則。所謂模2運算就是這樣一種新的運算規則。[1]

模2運算是一種二進位制演算法，CRC校驗技術中的核心部分。與四則運算相同，模2運算也包括模2加、模2減、模2乘、模2除四種二進位制運算。而且，模2運算也使用與四則運算相同的運算子，即“+”表示模2加，“－”表示模2減，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。與四則運算不同的是模2運算不考慮進位和借位，即模2加法是不帶進位的二進位制加法運算，模2減法是不帶借位的二進位制減法運算。這樣，兩個二進位制位相運算時，這兩個位的值就能確定運算結果，不受前一次運算的影響，也不對下一次造成影響