尤拉方程本質上就是流體的牛頓第二運動定律，也就是F=ma。

考慮一個不受重力的流體元，它受的合力不就是它每個面上的壓強的積分嘛。

這裡 是流體元表面向外的法線方向，大小是面積元，壓強只會垂直作用在物體表面。壓強的方向都是向流體內部的， 是外法向，所有積分前面還有個負號。 這個負號代表對一個閉合的曲面積分。利用高斯公式，將對面的積分(dx dy)變換為對體（三維dx dy dz）的積分

請注意這裡的 是一個矢量了，代表著壓力的梯度。

以上就是流體微元的受力。下面寫出流體微元的加速度，然後乘以密度就和受力相等了。

去掉積分號就是這樣的形式。注意， 是對流體元求導， 流體元的速度需要x,y,z來確定哪個流體元，以及t來確定時刻，所以是關於四個自變數的變數。尤拉方程左端就可以展開。

考慮重力的時候右邊再加上重力項

注意，這是等式是向量相等。這就是尤拉方程，流體的牛頓第二定律。