f(0)+f"(0)x+f""(0)x^2/(2!)+……+f在0處的n階導數乘以x的n次方除以n的階乘加餘項。

規律是上邊是N階導數乘以x的N次方在除以N的階乘（看出來來了嗎？都是N）皮亞諾餘項不用說了一般就o（x的n次方）。拉格朗日型餘項的是：在thetax處的N+1階導數乘以x的N+1次方在除以N+1的階乘，也就是前邊的規律就換一個theta x.

泰勒中值定理（帶拉格郎日餘項的泰勒公式）：若函式f(x）在含有x的開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關於(x-x0)多項式和一個餘項的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)

其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，這裡ξ在x和x0之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。

（注：f(n)(x0)是f(x0)的n階導數，不是f(n)與x0的相乘。）

使用Taylor公式的條件是：f(x)n階可導。其中o((x-x0)^n）表示比無窮小(x-x0)^n更高階的無窮小。

Taylor公式最典型的應用就是求任意函式的近似值。Taylor公式還可以求等價無窮小，證明不等式，求極限等

這要看其泰勒展開的收斂域。

比如e^x展開式的收斂域是R，那麼e^g(x)的以g(x)代入就沒問題。

因此e^(lnx), e^(x+1)^2都可以lnx, (x+1)^2代入。複合函式的泰勒公式

是否任意初等函式的複合函式都可以用變數替換的方法直接帶入用泰勒公式展開?例如e的（ln x）次方、 e的[（x+1）^2]

在用泰勒展開式解決極限題目的時候會非常簡單，昨天我在群裡看有人問一題

這題用洛必達法則極為複雜，其他解法不易想，所以我們自然想到泰勒展開式，可是我們如何知道複合函式的泰勒展開式呢？這裡我將會用長篇幅來介紹複合函式的泰勒展開式.

首先，我們知道  的泰勒展開式  ，我們也知道  ，那我們要求  的展開式，首先我們可以整體替換得到

然後出現了無限項的三角函式，看起來如果一個個展開非常混亂！但是我們可以仔細觀察，我們想要的泰勒展開式是冪級數  ，那麼我們一步步來,首先:如何找  ?

首先，1就是  裡面的一項，然後看看其他項有沒有常數項？顯然  和它的高次冪都是不會有的！所以 

齊次，我們想找  ，一項項看，  裡面有一個  ,然而  ，其它一樣，所以只有第二項有  ，即 

同理，我們要找  ,我們從頭再分析，顯然  不包含二次項，而

 包含二次項！那麼三次冪呢？顯然最低冪是  ，所以也是沒有的，包含前面的係數那麼我們就可以得到 

接下來我們看  ，顯然  包含三次項,而

我們要配出  那麼無非是  或者  ，而如果第一個取了3次冪的，第二個卻沒有常數項和它配，而我們取一次冪，第二個卻沒有二次冪和它配，也就是說，  是找不到三次冪的，實際上我們稍微變換思路就可以發現

確實沒有三次冪！而至於更高次冪，它們最低次冪已經超過三次了，所以我們不用考慮，即

這就是我們要求的泰勒展開式。