對於多元函式來說：某點處偏導數存在與否與該點連續性無關。（即使所有偏導數都存在也不能保證該點連續）。偏導數存在是可微的必要條件，但非充分條件（可微一定偏導數存在，反之不然）；偏導數存在且偏導數連續是可微的充分條件，但非必要條件（偏導數存在且連續一定可微，反之不然）。

你好，我是【不畏失敗走向成功】，很高興為你解答。對單變數來說，可導和可微是一回事，導數就是差分的極限，這個極限存在導數就存在。可積實質上就是對連續函式來說的，如果一個函式在一個區間上的不連續的點是至多可數的，通俗的說就是這些點壓縮在一起，長度任意小，那麼就認為是可積的。至於有定義，我們高中不就求過定義域什麼的嗎？這個還是比較好理解的。還有可導一定連續，連續不一定可導。最著名的例子就是Y=|X|在x=0處連續但不可導…更多專業的科普知識，歡迎關注我。如果喜歡我的回答，也請給我贊或轉發，你們的鼓勵，是支援我寫下去的動力，謝謝大家。

函式是一元的條件下： 1、可微等於可導； 2、可導就比連續，但連續不一定可導； 3、設函式在x0點的某個領域內有定義並且函式趨於x0點的極限等於該點函式值，則函式在這點連續。 4、函式在（a，b）上連續，則函式可積。 5、若函式在某點可微分，則函式在該點必連續；若二元函式在某點可微分，則該函式在該點對x和y的偏導數必存在。

一元函式：可導必然連續，連續推不出可導，可導與可微等價。多元函式：可偏導與連續之間沒有聯絡，也就是說可偏導推不出連續，連續推不出可偏導。多元函式中可微必可偏導，可微必連續，可偏導推不出可微，但若一階偏導具有連續性則可推出可微。

這之間的關係上面已經說的很清楚，我補充一點理解上的東西。大學數學之所以叫微積分學，而沒有叫導（數）積分學，很大原因就是微積分學基本上就是一個概念：以直代曲，而微分正是為了這個而產生得數學表達，因此微分是最基本的，一元函式微分和可導是等價的概念，可以推出原來函式的連續性質，而多元函式可微分則能推出任意方向導數的存在性，也可以推出原來函式的連續性，從微分概念的產生得目的上講，推出這些是自然而然的事情。

對於一元函式有，可微<=>可導=>連續=>可積 對於多元函式，不存在可導的概念，只有偏導數存在。函式在某處可微等價於在該處沿所有方向的方向導數存在，僅僅保證偏導數存在不一定可微，因此有：可微=>偏導數存在=>連續=>可積。 可導與連續的關係：可導必連續，連續不一定可導； 可微與連續的關係：可微與可導是一樣的； 可積與連續的關係：可積不一定連續，連續必定可積； 可導與可積的關係：可導一般可積，可積推不出一定可導；