函式不連續，導數不存在。函式連續，也可能不存在。比如：函式y=|X|在X=0處，沒有切線。因而在x=0處不可導，其餘地方可導。也就是說，只有在連續的，平滑的（可以和直線相切的）曲線或直線上可導，而對於折線（就是有角的地方）的尖點，是不可導的。



1導數含義

導數（Derivative），也叫導函式值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f（x）的自變數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函式輸出值的增量Δy與自變數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是透過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。

例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。

不是所有的函式都有導數，一個函式也不一定在所有的點上都有導數。若某函式在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函式一定連續；不連續的函式一定不可導。

對於可導的函式f(x)，x↦f'(x)也是一個函式，稱作f(x)的導函式（簡稱導數）。尋找已知的函式在某點的導數或其導函式的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運演演算法則也來源於極限的四則運演演算法則。

反之，已知導函式也可以倒過來求原來的函式，即不定積分。微積分基本定理說明瞭求原函式與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

二階導數不存在的點，左右兩邊的二階導數的符號可能是不同的。

在數學上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點（即曲線的凹凸分界點）。若該曲線圖形的函式在拐點有二階導數，則二階導數在拐點處異號（由正變負或由負變正）或不存在。

直接根據拐點的定義，可以得到曲線存在拐點的第一充分條件。

設函式f（x）在點的某鄰域內具有二階連續導數，若在該點的兩側異號，則是曲線y=f(x)的一個拐點；若在該點的兩側同號，則不是曲線的拐點。

一點導數存在的一個充要條件條件是：該點左導和右導存在且相等。如果函式在一點導數不存在，則稱函式在該點不可導，因此導數不存在的點與不可導點的沒有區別。對於①間斷點：函式在該點不連續，則左右導至少一個不存在，所以導數不存在。對於②左右導數不相等的點（你對不可導點的概念理解有誤）：函式在該點連續，因為左右導數不相等，所以導數不存在。對於③切線垂直x軸的點（導數為無窮大而不是0）：左右導數均不存在，所以導數不存在。