顯然存在這樣的數字，它無法被定義（自然無法被描述）。

考慮所有由自然語言字元構成的有序無限集 ，比如“平方為2的正數”或者“錒點包娜”。易知 可數。考慮 中所有有意義的字串，記為 ，那麼 至多可數。由於我們認為，“一個數能夠被定義”當且僅當存在一串有限的字串可以唯一刻畫它（即我們可以定義對映 ），以及實數集不可數，我們知道，不可定義數（即 ）一定不可數。

可定義數里面也存在不可計算數。不可計算數即，考慮 ，存在這樣的 使得無法計算 的小數點後第 位數字。舉例：首先描述一個圖靈機 。如果 可以停機則 的小數點後第 位為1，反之為0。由哥德爾不完備性定理知 一定不可計算。

剩下的數都是可計算的了，也就是在任意給定非零誤差的情況下，我可以用特定規則，在有限時間內生成誤差允許範圍內的該數字。其中最著名的是代數數（所有代數方程的根）。對於可計算數就不再贅述了。