n次多項式knx^n+...+k1x+k0，顯然係數不能全為0.
設有n+1個不同的根x1,x2,...,xn+1，則有
knx1^n+...+k1x1+k0=0
knx2^n+...+k1x2+k0=0
...
knxn+1^n+...+k1xn+1+k0=0
將多項式的係數看成這些方程的未知數
則其係數矩陣為
x1^n
x1
1
x2^n
x2
xn+1^n
xn+1
該矩陣的行列式是範德蒙德行列式，因為x1,x2,...,xn+1互不相同，故其行列式不為0.
故該方程只有零解。故kn=k1=k0=0
矛盾
故3次多項式最多隻有3個互異的根
n次多項式knx^n+...+k1x+k0，顯然係數不能全為0.
設有n+1個不同的根x1,x2,...,xn+1，則有
knx1^n+...+k1x1+k0=0
knx2^n+...+k1x2+k0=0
...
knxn+1^n+...+k1xn+1+k0=0
將多項式的係數看成這些方程的未知數
則其係數矩陣為
x1^n
...
x1
1
x2^n
...
x2
1
...
xn+1^n
...
xn+1
1
該矩陣的行列式是範德蒙德行列式，因為x1,x2,...,xn+1互不相同，故其行列式不為0.
故該方程只有零解。故kn=k1=k0=0
矛盾
故3次多項式最多隻有3個互異的根