本題主要考察的是對複合函式進行求導，因此，首先需要明確該定理：設函式y=f(u),u=φ(x)均可導，則複合函式y=f(φ(x))也可導。且yx’=f’(u)φ’(x)。

第一步：將(1+x)/(1-x)看作整體，設為t，根據基本初等函式求導公式 (lnx)"=1/x ，即此處(In t)’=1/t。

第二步：根據複合函式求導法則，再對t進行求導，即[(1+x)/(1-x)]’，此處用的是四則運算中的求導法則。求導規則如下圖所示：

因此對t進行求導的過程是[(1+x)/(1-x)]’=[(1+x)’(1-x)-(1+x)(1-x)’]/(1-x)^2=2/(1-x)^2。

第三步：對前兩步的結果進行整合，此處為yx’=f’(t)φ’(x)，注意不要遺漏任何一項，最終的求導結果即為[In(1+x)/(1-x)]’=[(1-x)/(1+x)][2/(1-x)^2]=2/(1-x^2)。

1.對於數列{an}={[1+(1/n)]^n}來講，要先證明它極限的存在，所以要利用“單調有界數列必有極限”的定理

2. 先證明{an}單調上升，思想是利用二項式展開的公式可以驗證an<a(n+1)...a(n+1)表示第n+1項

3.再證明此數列有界，因為單調上升，所以第一項最小，可以作為下界

此外，可以利用第二步的二項式展開證明an<3

所以數列{an}有 2=a1<an<3

4. 這樣一來利用“單調有界數列必有極限”的定理就可知數列{[1+(1/n)]^n}是收斂的

進一步，就把n→∞時數列{[1+(1/n)]^n}的極限記為e, 即自然對數的底

ln [(1+ 1/x)^x]=x* ln (1+ 1/x)=ln (1+ 1/x) /(1/x)

由洛必達法則

lim(x趨於零)[ln (1+ 1/x) /(1/x)]

=lim(x趨於零){ [1/(1+ 1/x)*(-1 /x^2)] /(-1 /x^2) }

=lim(x趨於零)[1/(1+ 1/x)]=0

所以 lim(x趨於零)[(1+ 1/x)^x]=e^0=1