30階群:由Sylow定理, 該群有1個或6個Sylow 5-子群. 若只有1個, 則為正規子群, 該群不為單群.若有6個, 這6個子群共含有6·(5-1) = 24個5階元.再考慮Sylow 3-子群, 個數可能為1, 3, 10.若有不少於3個, 則至少有3·(3-1) = 6個3階元.單位元+5階元+3階元個數 > 30, 矛盾.故只能有1個3階子群, 為正規子群, 該群不為單群.p²q階群:若p = q, p-群有非平凡的中心, 故不為單群.若p > q, 則Sylow p-子群只能有1個 (p不整除q-1), 為正規子群, 該群不為單群.若q > p, 除去q = 3, p = 2以外, 有q > p+1. 則q不整除p-1, 也不整除p²-1 = (p+1)(p-1).於是Sylow q-子群只能有1個, 為正規子群, 該群不為單群.最後討論p = 2, q = 3的情況.考慮Sylow 3-子群, 有1個或4個.
30階群:由Sylow定理, 該群有1個或6個Sylow 5-子群. 若只有1個, 則為正規子群, 該群不為單群.若有6個, 這6個子群共含有6·(5-1) = 24個5階元.再考慮Sylow 3-子群, 個數可能為1, 3, 10.若有不少於3個, 則至少有3·(3-1) = 6個3階元.單位元+5階元+3階元個數 > 30, 矛盾.故只能有1個3階子群, 為正規子群, 該群不為單群.p²q階群:若p = q, p-群有非平凡的中心, 故不為單群.若p > q, 則Sylow p-子群只能有1個 (p不整除q-1), 為正規子群, 該群不為單群.若q > p, 除去q = 3, p = 2以外, 有q > p+1. 則q不整除p-1, 也不整除p²-1 = (p+1)(p-1).於是Sylow q-子群只能有1個, 為正規子群, 該群不為單群.最後討論p = 2, q = 3的情況.考慮Sylow 3-子群, 有1個或4個.