偏導數是將一元函式的導數推廣到多元函式，我們知道，導數是函式的區域性性質，函式在一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率，反映函式變化的快慢。一個多變數函式的偏導數，就是它關於其中一個變數的導數而保持其他變數不變。 區別： 一、一元函式，可導必連續，連續不一定可導。多元函式，偏導數存在不能保證連續。 二、幾何意義不同 函式y=f（x）在x0點的導數f"（x0）的幾何意義：表示函式曲線在點P0（x0,f（x0））處的切線的斜率（導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率）。 偏導數 f"x(x0,y0) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f"y(x0,y0) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。

偏導數

函式的變化率

在數學中，一個多變數的函式的偏導數，就是它關於其中一個變數的導數而保持其他變數恆定（相對於全導數，在其中所有變數都允許變化）。偏導數在向量分析和微分幾何中是很有用的。

x方向的偏導

設有二元函式 z=f(x,y) ，點(x0,y0)是其定義域D 內一點。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0 有增量 △x ，相應地函式 z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那麼此極限值稱為函式 z=f(x,y) 在 (x0,y0)處對 x 的偏導數，記作 f'x(x0,y0)或。函式 z=f(x,y) 在(x0,y0)處對 x 的偏導數，實際上就是把 y 固定在 y0看成常數後，一元函式z=f(x,y0)在 x0處的導數。

y方向的偏導

同樣，把 x 固定在 x0，讓 y 有增量 △y ，如果極限存在那麼此極限稱為函式 z=(x,y) 在 (x0,y0)處對 y 的偏導數。記作f'y(x0,y0)。

求法

當函式 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的兩個偏導數 f'x(x0,y0) 與 f'y(x0,y0)都存在時，我們稱 f(x,y) 在 (x0,y0)處可導。如果函式 f(x,y) 在域 D 的每一點均可導，那麼稱函式 f(x,y) 在域 D 可導。

此時，對應於域 D 的每一點 (x,y) ，必有一個對 x (對 y )的偏導數，因而在域 D 確定了一個新的二元函式，稱為 f(x,y) 對 x (對 y )的偏導函式。簡稱偏導數。

按偏導數的定義，將多元函式關於一個自變數求偏導數時，就將其餘的自變數看成常數，此時他的求導方法與一元函式導數的求法是一樣的。

幾何意義

表示固定面上一點的切線斜率。

偏導數 f'x(x0,y0) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f'y(x0,y0) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。

高階偏導數：如果二元函式 z=f(x,y) 的偏導數 f'x(x,y) 與 f'y(x,y) 仍然可導，那麼這兩個偏導函式的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函式的二階偏導數有四個：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

一樓所言。是一階偏導數的幾何意義。 “二階混合偏導數”，沒有能夠“直接看出”的“幾何意義”。 當然 ，一定要，也不是不能做出來。 F〃xy（x0,y0）＝（F′x（x0,y）"y（y0） 也就是，先作一個一元函式Φ（y）＝F′x（x0,y）,影象z＝Φ（y）在（y0,Φ（y0））處的切線的斜率，就是F〃xy（x0,y0）的“幾何意義”。 只能這樣，它麻煩，它看不清。所以，不如干脆說，二階混合偏導數 沒有 明顯的幾何意義。 更多追問追答