1.從1到n的自然數之和:Sn = n (n + 1) / 2

把兩個相同的自然數列逆序相加

2Sn=1+n + 2+(n-1) + 3+(n-2) + ... n+1

=n+1 +n+1 + ... +n+1

=n(n+1)

所以Sn=n(n+1)/2

2.從m到n的自然數之和:Smn=(n-m+1)/2(m+n)(n>m)

Smn=Sn-S(m-1)

=n(n+1)/2 -(m-1)(m-1+1)/2

={n(n+1) - m(m-1)}/2

={n(n+1) - mn + m(1-m) + mn }/2

={n(n-m+1)+ m(1+ n-m)}/2

=(n+m)(n-m+1)/2

所以Smn=(n+m)(n_m+1)/2