先說思路，不涉及任何數字和公式。

假設有一個任意圖形，取兩點把周長截成相等的兩部分，連線兩點。如果兩邊面積不一樣大，那麼就把小的一邊按大的一邊做對稱變換，因為等分周長外加共用邊，這個拓撲變換很容易理解，結果就是軸對稱圖形的面積更容易變大。

改變兩點的位置，再做一次對稱變換，面積再增加一些。也就是說對稱軸越多，面積可以越大。

再考慮中心對稱的情況。

取若干點等分周長，與圖形內任一點連線，構成若干“扇形”。如果這些扇形面積不相等，那麼其它扇形就按照面積最大的做拓撲變換，可使得面積增大。結果就是具有旋轉不變性的圖形面積更大。

重複以上步驟，旋轉不變角越小，面積越大。

綜合軸對稱和中心對稱兩種情況，圓具有無限多的對稱軸和無限小的旋轉不變角，所以圓是面積最大的圖形。

這個問題需要用到對稱性和一點點微積分的思想。大概分成以下步驟：

第一步：對於給定周長的最大面積圖形S，對於任何一條可以等分周長的直線段，我們稱為“徑”，容易看到，任何一條徑都會同時等分S的面積。否則我們只要把面積較大的那一半翻轉過來替換，就可以得到一個等周長的更大面積的圖形，和S的定義矛盾。

第二步：很顯然，由一可知，任何兩條交叉“徑”分割的對面兩個扇面必然面積相等。

第三步：任意兩條“極”相鄰的徑（夾角極小）交點為徑的中點。這個由二可知，同時需要用到圖形連續性的特徵。

第四步：反證所有徑長相等：否則取最短徑d，考察鄰域，如鄰近的徑更長，則可以把d“拉長”，使周長更小，面積更大。

第五步：由三四推論所有徑等長且交於中點，此時所有交點重合，稱為“心”，所有方向上半徑相等，所以就是圓

簡單給一個另外的證明思路：

1、假設給定一週長，也即給定一簡單封閉曲線圍住一面積，構成一平面圖形。（容易證明凹圖形面積小於凸圖形，所以只需考慮凸圖形）

2、在該平面圖形內部，任取一點O；然後在周長上n等分，得n個點，分別與點O連結。這樣可將面積分割為n個近似三角形的和。隨著n的值趨向於無窮大，所分割的圖形將越嚴格接近於三角形。

3、然後求所有三角形面積的和。這是一個簡單基本的積分運算。這樣就得到了一個通行的所有簡單封閉曲線圍成的凸圖形面積的公式。

4、再求給定周長情況下，求由積分公式所確定的面積的最大值。我們會發現在每個三角形全等的情況下面積最大。而圓其實可視為一個無窮多邊的正多邊形。因此圓是同等周長下面積最大的平面圖形。

（根據lxgwm2008意見補充修正）