不可以交換，比如A是個2x3型的矩陣，那麼A^T就是3x2型矩陣，AA^T的結果就是2x2型矩陣，但(A^T)A的結果是3x3型矩陣，所以一般不能交換。

矩陣可交換的幾個充分條件和必要條件

定理1

下面是可交換矩陣的充分條件：

(1) 設A , B 至少有一個為零矩陣,則A , B 可交換;

(2) 設A , B 至少有一個為單位矩陣, 則A , B可交換;

(3) 設A , B 至少有一個為數量矩陣, 則A , B可交換;

(4) 設A , B 均為對角矩陣,則A , B 可交換;

(5) 設A , B 均為準對角矩陣（準對角矩陣是分塊矩陣概念下的一種矩陣。即除去主對角線上分塊矩陣不為零矩陣外，其餘分塊矩陣均為零矩陣）,則A , B 可交換;

(6) 設A*是A 的伴隨矩陣,則A*與A可交換;

(7) 設A可逆,則A 與其逆矩陣可交換;

注：A的逆矩陣經過數乘變換所得到的矩陣也可以與A進行交換。

(8) A^n （n=0,1..., n屬於N）可與A^m(m=0,1..., m屬於N)交換.這一點由矩陣乘法的交換律證明。

定理2

(1) 設AB =αA +βB ,其中α,β為非零實數,則A , B 可交換;

(2) 設A m +αAB = E ,其中m 為正整數,α為非零實數,則A , B 可交換.

定理3

(1) 設A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,則A , B 可交換;

(2) 設A , B 均可逆, 若對任意實數k , 均有A = ( A - k·E) B ,則A , B 可交換.

矩陣可交換的幾個充要條件

定理4

下列均是A , B 可交換的充要條件:

(1) A² - B² = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B)

(2) ( A ±B) ² = A ² ±2 AB + B² ;

(3) ( AB)T= ATBT;

(4) ( AB)*= A*B*

定理5

可逆矩陣A , B 可交換的充要條件是：

(AB) = A ·B .

定理6

(1) 設A , B 均為(反) 對稱矩陣, 則A , B 可交換的充要條件是AB 為對稱矩陣;

(2) 設A , B 有一為對稱矩陣,另一為反對稱矩陣,則A , B 可交換的充要條件是AB 為反對稱矩陣.

可交換矩陣的一些性質

性質1

設A , B 可交換,則有:

(1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整數;

(2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多項式,即A 與B 的多項式可交換;

(3) A - B = ( A - B ) ( A + A B …+B ) = ( A + A B + …+ B) ( A - B)

(4) ( A + B )^m =。。。。這個不好打啊。。

(矩陣二項式定理)

性質2

設A , B 可交換,

(1) 若A , B 均為對合矩陣,則AB 也為對合矩陣;

(2) 若A , B 均為冪等矩陣, 則AB , A + B -AB 也為冪等矩陣;

(3) 若A , B 均為冪么矩陣,則AB 也為冪么矩陣;

(4) 若A , B 均為冪零矩陣,則AB , A + B 均為冪零矩陣.

性質3

若A,B可交換，則A，B可同時對角化

不可以寫成A的轉置乘B的轉置，因為矩陣乘法不滿足交換律，一般情況下，AB≠BA，所以只能按原來的那個寫。

不能，矩陣的轉置和逆矩陣屬於不同的概念，二者之間沒有必然的聯絡。

矩陣（運算元）對應於一個空間中的子空間（平面），取逆和取對偶（轉置）變成一個空間上的簡單變換。這兩個變換是顯然可交換的。

對了，矩陣的對偶是轉置在複數域上的推廣，一個矩陣的對偶是取轉置後取複數共軛。一個實矩陣的對偶和轉置是一樣的。

轉置是行變成列列變成行,沒有本質的變換

逆矩陣是和這個矩陣相乘以後成為單位矩陣的矩陣

這個是一個本質的變換,逆矩陣除了一些顯然的性質以外還有一些很特殊的性質,例如無論左乘還是右乘原矩陣,都是單位矩陣