按《對角線》法硬乘應該是那個結果。(a^3+1+1)-(a+a+a)=a^3-3a+2=a^3-4a+a+2=a(a^2-4)+(a+2)=a(a+2)(a-2)+(a+2)=(a+2)(a^2-2a+1)=(a+2)(a-1)^2不過，也可能用《行列式的基本性質》變換行列式後，也可以直接得出這個結果。

雅可比行列式通常稱為雅可比式(Jacobian)，它是以n個n元函式的偏導數為元素的行列式 。事實上，在函式都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，它就是函式組的微分形式下的係數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。 若因變數對自變數連續可微，而自變數對新變數連續可微,則因變數也對新變數連續可微。這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。也類似於導數的連鎖法則。偏導數的連鎖法則也有類似的公式；這常用於重積分的計算中。

n個未知數n個線性方程所組成的線性方程組，它的係數矩陣的行列式叫做係數行列式。

行列式的性質：

1、行列式的行和列互換，其值不變。即行列式D與它的轉置行列式相等。

2、互換行列式中任意兩行的位置，行列式的正負號改變。

3、用一個數k乘以行列式的某一行的各元素，等於該數乘以此行列式。

4、如果行列式的某行中各元素均為兩項之和，則這個行列式可以拆成除這一行以外其餘元素不變的兩個行列式的和。

4、可推廣到某行各元素為多項之和的情形。

5、把行列式中某一行的各元素同乘以一個數k，加到另一行的對應元素上，行列式的值不變。

應該是首先在解方程中發現了線性方程組係數的某種乘積和具有特殊意義，我記得萊布尼茨、麥克勞林都發現過二元、三元線性方程組的解分子分母是係數的某種乘積項的和並且每一項的符號具有規律性，但是都沒把這個東西叫做行列式；克拉默給出了n元方程的通式(記號和現在不一樣，他是用上標的排列來表示的)；然後把這樣的乘積和單獨拿出來研究，發現從低階到高階還有規律，可以遞迴定義，可以透過置換指標得到代數表示式，可以用子式展開(範德蒙說的就是你)。那個逆序數的代數表示式定義是柯西給的，這個時候線代書上講的那些性質基本都研究清楚了，克拉默法則也是柯西給出的證明(克拉默沒證)。至於現在的記號……好像是凱萊給出的？記不清也懶得去查證了