通常我們所說的階乘是定義在自然數範圍裡的，小數沒有階乘，像0。5！，0。65！，0。777！都是錯誤的。但是，有時候我們會將Gamma函式定義為非整數的階乘，因為當x是正整數n的時候，Gamma函式的值是n-1的階乘。

¤伽瑪函式（GammaFunction）Γ（x)=∫e^(-t)*t^(x-1)dt(積分下限是零上限是＋∞）(x<>0,-1,-2,-3,……)運用積分的知識，我們可以證明Γ（x)＝(x-1)*Γ（x-1)所以，當x是整數n時，Γ（n)=(n-1)(n-2)……＝(n-1)!這樣Gamma函式實際上就把階乘的延拓。

階乘在複平面的解析延拓是伽瑪函式，定義域是複平面除去負整數的點。-1的階乘你可以理解為+∞，簡單理解為x*(x-1)! =x! ，x趨於0時式子趨於ε*(-1)! =1，所以(-1)! =+∞。除了-1 -2…其餘的-0.5或者-1.5+2.3i的階乘都是有的。 ps以上是尤拉二十出頭搞出來的（虛數部分是後人簡單加上去的）。