舉幾個可能使同學感到陌生的例子.

A、代數數域. 設 ,即 是有理數域 上的一個多項式. 它的次數 ， 是 在複數域 中的一個零點. 可以證明集合

在複數域的運算下構成一個域，稱為代數數域.

B、 進數域. 設 是素數，對任一有理數 , 設 ( )

定義 的進絕對值 為 又定義 不難證明進絕對值滿足非負性、齊次性和三角不等式. 因此可以定義 在進絕對值意義下的完備化如下.

定義 進Cauchy列：

記 為所有 進Cauchy列組成的集合，並引入等價關係

當且僅當

不妨以 記 在商集 中的等價類.

定義加法

定義乘法

就是在代數學，特別是在數論、表示論、拓撲群、分析、幾何等分支廣泛應用的進數域.

三角不等式：|a|-|b|≤|a+b|，它對任意實數都成立，其中等號成立的條件可以這樣來理解，如果a,b都為0，顯然等號成立，如果a=0,b不等於0，左邊為負，右邊為正，等號不成立，如果a不等於0，b等於0,等號顯然成立。當a,b都不為0時，根據有理數的加法法則可以知道a,b必為異號，且必須有|a|≥|b|因為|b|-|a|≤|a+b|且|a|-|b|≤|a+b|，所以|a+b|不小於|a|-|b|及它的相反數，所以||a|-|b|| |≤|a+b|