矩陣的平方等於自己說明矩陣的任意次方都等於自己。

1.A^2=A,即是A^2-A=0,即A(A-E)=0,所以R(A)+(A-E)小於或等於n, 又因為A+(E-A)=E,所以R(A)+(A-E)＝R(A)+R(E-A)大於或等於n, 於是R(A)+(A-E)＝n.

2.由A(A-E)=0可知A-E的每一列都是Ax=0的解，類似地可以知道，A的每一列也都是(A-E)x=0的解.

3.A的特徵值只能是1或0.證明如下：設λ是A的任意一特徵值，α是其應對的特徵向量，則有 Aα=λα,於是(A^2-A)α=(λ^2-λ)α=0,因為α不是零向量，於是只能有λ^2-λ＝0，所以λ＝1或λ=0

4.矩陣A一定可以對角化.因為A-E的每一非零列都是Ax=0的解，所以A-E的每一個非零列都是λ＝0的特徵向量，同理A的每一個非零列都是λ＝1的特徵向量，再由R(A)+(A-E)＝n可知矩陣A有n個線性無關的特徵向量，所以A可以對角化. 暫時只能想到這些了，希望對你有所幫助.

A^2=A,

則(A-E)A=0,

若A可逆，則A-E=0，A=E；

若A-E可逆，則A=0；

但如果A，A-E都不可逆，那麼不能有A等於E或0；

反例：

0 0

0 1

^大體有三種解法,

法一：看它的秩是否為1,若為1的話一定可以寫成一行(a)乘一列(b),即A=ab.這樣的話,A^2=a(ba)b,注意這裡ba為一數,可以提出,即A^2=(ba)A；

法二：看他能否對角化,如果可以的話即存在可逆矩陣a,使a^(-1)Aa=∧,

這樣A=a∧a^(-1),A^2=a∧a^(-1)a∧a^(-1)=a∧^2a^(-1)；

最後,用最原始的方法乘,矩陣的乘法.

"拓展資料”：次方法對n次方都適用,只不過對n次方,第三種方法,採用數學歸納法.