令x=tan(t),t∈(-pi/2,pi/2),則根號(1+x^2)=sec(t), ∫根號(1+x^2)dx =∫sec(t)d(tan(t))-----(令此積分為I) =tan(t)sec(t)-∫tan(t)d(sec(t)) =tan(t)sec(t)-∫tan(t)^2.sec(t)dt =tan(t)sec(t)-∫sec(t)[sec(t)^2-1]dt =tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+∫sec(t)dt =tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+ln[sec(t)+tan(t)] =tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]-I 所以2I=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]+C I={tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]}/2+C ={x根號(1+x^2)+ln[根號(1+x^2)+x]}/2+C 不定積分I即為所求原函式.
令x=tan(t),t∈(-pi/2,pi/2),則根號(1+x^2)=sec(t), ∫根號(1+x^2)dx =∫sec(t)d(tan(t))-----(令此積分為I) =tan(t)sec(t)-∫tan(t)d(sec(t)) =tan(t)sec(t)-∫tan(t)^2.sec(t)dt =tan(t)sec(t)-∫sec(t)[sec(t)^2-1]dt =tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+∫sec(t)dt =tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+ln[sec(t)+tan(t)] =tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]-I 所以2I=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]+C I={tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]}/2+C ={x根號(1+x^2)+ln[根號(1+x^2)+x]}/2+C 不定積分I即為所求原函式.