假若素數只有有限多個，設最大的一個是P，從2到P的全體素數是：
2，3，5，7，11……，P。
所有的素數都在這裡，此外再沒有別的素數了。
現在，我們來考察上面從2到P的全體素數相乘、再加上1這個數，設它是A，即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一個大於1的正整數，它不是素數，就是合數。
如果A是素數，那麼，就得到了一個比素數P還要大的素數，這與素數P是最大素數的假設矛盾。
如果A是合數，那麼，它一定能夠被某個素數整除，設它能被g整除。
因為A被從2到P的任何一個素數除，餘數都是1，就是都不能整除，而素數g是能整除A的，所以素數g不在從2到P的全體素數之中。這說明素數g是一個比素數P更大的素數，這又與P是最大的素數的假設矛盾。
上面的證明否定了素數只有有限多個的假定，這就證明了素數是無窮多個。
假若素數只有有限多個，設最大的一個是P，從2到P的全體素數是：
2，3，5，7，11……，P。
所有的素數都在這裡，此外再沒有別的素數了。
現在，我們來考察上面從2到P的全體素數相乘、再加上1這個數，設它是A，即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一個大於1的正整數，它不是素數，就是合數。
如果A是素數，那麼，就得到了一個比素數P還要大的素數，這與素數P是最大素數的假設矛盾。
如果A是合數，那麼，它一定能夠被某個素數整除，設它能被g整除。
因為A被從2到P的任何一個素數除，餘數都是1，就是都不能整除，而素數g是能整除A的，所以素數g不在從2到P的全體素數之中。這說明素數g是一個比素數P更大的素數，這又與P是最大的素數的假設矛盾。
上面的證明否定了素數只有有限多個的假定，這就證明了素數是無窮多個。