一個函式的導數是函式嗎：

1.對於微積分初學者，函式的導數是一個新函式，還是一個逐點定義的數值？這個問題很容易把人搞糊塗了。

以下是科普中國的定義：

導數（Derivative）是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f(x)的自變數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函式輸出值的增量Δy與自變數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。

導數是函式的區域性性質。一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是透過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。

不是所有的函式都有導數，一個函式也不一 定在所有的點上都有導數。若某函式在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函式一定連續；不連續的函式一定不可導。

對於可導的函式f(x)，xf'(x)也是一個函式，稱作f(x)的導函式（簡稱導數）。尋找已知的函式在某點的導數或其導函式的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則也來源於極限的四則運演算法則。反之，已知導函式也可以倒過來求原來的函式，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函式與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。 [1]

總而言之，在極限論微積分中個，導數是逐點定義的，是一個匯出來的數值，……

與此相反，在無窮小微積分中，到數的定義藉助相應曲線斜率存在與否，直接定義為一個新的函式，而不是匯出來的數值。例如：

DEFINITION

Let f be a real function of one variable. The derivative of f is the new function f' whose value at x is the slope of f at x.

In symbols,

f'(x) = st ( f(x +Δx)-f(x))

DEFINITION

Let f be a real function of one variable. The derivative of f is the new function

f' whose value at x is the slope of f at x. In symbols,

f'(x) = st ( f(x +

DEFINITION

Let f be a real function of one variable. The derivative of f is the new function

f' whose value at x is the slope of f at x. In symbols,

f'(x) = st ( f(x +

DEFINITION

Let f be a real function of one variable. The derivative of f is the new function

f' whose value atx is the slope of f at x. In symbols,

f'(x) = st ( f(x + - f(x))

whenever the slope exists.

The derivative f'(x) is undefined if the slope of f does not exist at x.

For a given point a, the slope of f at a and the derivative of f at a are the

same thing. We usually use the word 'slope' to emphasize the geometric picture and 'derivative' to emphasize the fact that f' is a function. whenever the slope exists.

The derivative f'(x) is undefined if the slope of f does not exist at x.

For a given point a, the slope of f at a and the derivative of f at a are the

same thing. We usually use the word 'slope' to emphasize the geometric picture and 'derivative' to emphasize the fact that f' is a function.（導數是新的函式！）

向量空間或稱線性空間，是現代數學中的一個基本概念，是線性代數研究的基本物件。 向量空間是線性代數的主體，它是數學中基本又重要的概念，其概念是：設V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對於加法及乘數兩種運算封閉，那麼就稱集合V為向量空間。其理論和方法已應用到自然科學、工程技術及社會科學的諸多領域。