把第一行的-2，-3倍加到第二、三行，得

1 2 3

0 -1 -5

0 -5 -7，此矩陣對應的行列式的值=7-25=-18≠0，

∴它的秩=3。

矩陣的秩

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：如果A可逆，則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：設矩陣A=(aij)sxn的列秩等於A的列數n，則A的列秩，秩都等於n。

當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

當r(A)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零）。

擴充套件資料

性質

性質1：行列式與它的轉置行列式相等。

性質2：互換行列式的兩行(列)，行列式變號。

推論：如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零。

性質3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數k，等於用數k乘此行列式。

推論：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。

性質4：行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等於零。

性質5：把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然後加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變