函式的凹凸性刻畫了函式在定義區間上任意兩點間的曲線弧與過兩點的弦之間的上下位置關係。
一、凹凸函式代數定義及判定定理
定義 若函式在區間上連續，對內任意兩點，恆有
成立，則稱函式在區間上是凹的；若恆有
成立，則稱函式在區間上是凸的.
如果函式在區間內具有二階微商，那麼有下面的函式曲線凹凸性的判定定理。
定理[1] 設函式在區間上連續，且存在二階微商.
(1)若對任意的，有，則函式在區間內是凹的；
(2)若對任意的，有，則函式在區間內是凸的.
定理的證明方法較多[2-3]，有些是採用對原函式及一階導函式連續利用微分中值定理的證明思路，也有些是運用函式單調性的導數判別法及微分中值定理，本文就不再贅述。下面給出對於定理的推廣定理。
二、對凹凸函式判定定理的推廣及證明
推廣1 設函式在區間上連續，且存在二階微商.
(1)若對於任意的都有成立，那麼對於任意的
及，有
(2)若對於任意的都有成立，那麼對於任意的及，有
推廣1可以理解為定理的等價性推廣.事實上、是函式曲線上的兩點，過這兩點的直線不妨記為，則有
.
那麼，表示與之間的任意一點.所以，當時，有
成立，即表示函式曲線上與之間的任意一點始終位於與連線上方.其中
也就是成立.
從幾何直觀上看，推廣1刻畫了在曲線弧上任意取兩點，連線這兩點的弦總是在弧段的上方，那麼曲線就是凹的；反之，連線這兩點的弦總是在弧段的下方，那麼曲線就是凸的。
進一步地，從曲線弧切線的位置看，曲線是凹的要求曲線弧總在切線上方，而曲線是凸要求曲線弧總在切線下方，這與幾何直觀上了解的凹與凸是一致的。
推廣2 設函式在區間上連續，且存在二階微商.
，有
(2)若對於任意的都有成立，那麼對於任意的，有
推廣3 設函式在區間上連續，且存在二階微商.若對於任意的都有成立，存在且，那麼對於所有的，有
證明 對於所有的
不妨設，記.
將在處，按照一階泰勒公式展開，有
（1）
分別將代入（1）式，得：
（2）
（3）
……
（n+1）
以乘以（2），以乘以（3），……，以乘以（n+1），並相加，得：
因為，
則上式中：
所以上式整理可得：
又因為，，
故有成立，即
注1 若相應的將改為，其他條件不變,則有下式成立:
注2 推廣3在推廣1的基礎上，揭示了在內插入個離散點的算術平均值處的函式值與這個離散點處函式值的算術平均值之間的關係。其中，當時推廣3即為推廣1的情形；當時，推廣3即為推廣2的情形，所以推廣3刻畫了更為一般的情形，也具有更強的應用性。
例1 設函式在區間上連續，且存在二階微商.若對於任意的都有成立，證明有;
若有，則不等號方向改變.
函式的凹凸性刻畫了函式在定義區間上任意兩點間的曲線弧與過兩點的弦之間的上下位置關係。
一、凹凸函式代數定義及判定定理
定義 若函式在區間上連續，對內任意兩點，恆有
成立，則稱函式在區間上是凹的；若恆有
成立，則稱函式在區間上是凸的.
如果函式在區間內具有二階微商，那麼有下面的函式曲線凹凸性的判定定理。
定理[1] 設函式在區間上連續，且存在二階微商.
(1)若對任意的，有，則函式在區間內是凹的；
(2)若對任意的，有，則函式在區間內是凸的.
定理的證明方法較多[2-3]，有些是採用對原函式及一階導函式連續利用微分中值定理的證明思路，也有些是運用函式單調性的導數判別法及微分中值定理，本文就不再贅述。下面給出對於定理的推廣定理。
二、對凹凸函式判定定理的推廣及證明
推廣1 設函式在區間上連續，且存在二階微商.
(1)若對於任意的都有成立，那麼對於任意的
及，有
(2)若對於任意的都有成立，那麼對於任意的及，有
推廣1可以理解為定理的等價性推廣.事實上、是函式曲線上的兩點，過這兩點的直線不妨記為，則有
.
那麼，表示與之間的任意一點.所以，當時，有
成立，即表示函式曲線上與之間的任意一點始終位於與連線上方.其中
也就是成立.
從幾何直觀上看，推廣1刻畫了在曲線弧上任意取兩點，連線這兩點的弦總是在弧段的上方，那麼曲線就是凹的；反之，連線這兩點的弦總是在弧段的下方，那麼曲線就是凸的。
進一步地，從曲線弧切線的位置看，曲線是凹的要求曲線弧總在切線上方，而曲線是凸要求曲線弧總在切線下方，這與幾何直觀上了解的凹與凸是一致的。
推廣2 設函式在區間上連續，且存在二階微商.
(1)若對於任意的都有成立，那麼對於任意的
，有
(2)若對於任意的都有成立，那麼對於任意的，有
推廣3 設函式在區間上連續，且存在二階微商.若對於任意的都有成立，存在且，那麼對於所有的，有
證明 對於所有的
不妨設，記.
將在處，按照一階泰勒公式展開，有
（1）
分別將代入（1）式，得：
（2）
（3）
……
（n+1）
以乘以（2），以乘以（3），……，以乘以（n+1），並相加，得：
因為，
則上式中：
所以上式整理可得：
又因為，，
故有成立，即
.
注1 若相應的將改為，其他條件不變,則有下式成立:
注2 推廣3在推廣1的基礎上，揭示了在內插入個離散點的算術平均值處的函式值與這個離散點處函式值的算術平均值之間的關係。其中，當時推廣3即為推廣1的情形；當時，推廣3即為推廣2的情形，所以推廣3刻畫了更為一般的情形，也具有更強的應用性。
例1 設函式在區間上連續，且存在二階微商.若對於任意的都有成立，證明有;
若有，則不等號方向改變.