非齊次線性方程組AX=b有解的充分必要條件是：係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，即rank(A)=rank(A， b)（否則為無解）。

非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是rank(A)=n。

非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

非齊次線性方程組的通解=齊次線性方程組的通解+非齊次線性方程組的一個特解（η=ζ+η*）

擴充套件資料：

非齊次線性方程組Ax=b的求解步驟：

（1）對增廣矩陣B施行初等行變換化為行階梯形。若R(A)<R(B)，則方程組無解。

（2）若R(A)=R(B)，則進一步將B化為行最簡形。

（3）設R(A)=R(B)=r；把行最簡形中r個非零行的非0首元所對應的未知數用其餘n-r個未知數（自由未知數）表示，並令自由未知數分別等於

即可寫出含n-r個引數的通解。

N元線性方程組AX=B無解的充要條件是：rank(A)不等於rank(A，B)，其中rank(A)是係數矩陣 A 的秩，rank(A，B) 是增廣矩陣 (A,B) 的秩。

另外，非齊次線性方程組AX=B有解的充分必要條件是：係數矩陣A的秩等於增廣矩陣(A，B)的秩，即rank(A)=rank(A，B)；非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是rank(A)=n；非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件是rank(A)<n。