二重積分的概念

Weierstrass函式證明了存在函式處處連續處處不可導。

與定積分概念密切相連：分割，求和，取極限。

分劃成為網狀分割，每個交點處橫截

橫截性：函式在P點橫截，如果兩個切線方程的線性子空間的維數等於2。

模仿定積分，給出二重積分的定義。如果記λ=max{Di的直徑}

事實：

有界閉區域上連續的二元函式是可積的。

有界閉區間上分片有界連續函式可積。

性質：

線性空間的性質。

積分割槽域可加。

不等式保序。

特例|∬f(x,y)dσ|≤∬|f(x,y)|dσ

積分中值定理

重（二重）積分的計算

原則：把二重積分化成累次積分。

直角座標系下的計算

先積x，y中更整齊的那一維。

先積那一維取決於簡便性（菱形例）

我們可以利用累次積分的思路解決複雜定積分的問題。

例 換一個維度進行二重積分，從而把其中的ey2可以先看成常數，便於操作。

I=∫b0dx∫axey2dy=∬Dey2dxdy=∫a0dy∫y0ey2dx=∫a0ey2ydy

然後就可以湊微分

極座標系下的計算

引入：為了解決高斯積分

適合用二重積分解決的三種典型模型

環形，不規則星形，極點在邊界曲線上。（有曲邊，能由這幾類問題組合而成）

例 由y=x,y=2x,x2+y2=4x,x2+y2=8x圍成的面積。

不適合用極座標的例子

邊界非常直的問題（直線的極座標方程都相對繁瑣）。

例 由y=x,y=0,x=1圍成的面積

積分割槽域和被積函式的取捨？

整潔的區域和優美的函式只能選擇一個

例 I=∬Ddxdy(a2+x2+y2)32D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a}主要矛盾是相對複雜的表示式與有限的計算能力的矛盾。化成極座標方程下求解。

高斯積分的求解

三重積分

兩種求解思路：

先定(x,y)求z座標區間（外層二重積分）。

先定x座標，切出一系列平面（內層二重積分）。

對換與輪換

幾種座標變換：

柱座標（每個面都極座標）、球座標（進一步吸納極座標只有一個長度量的特性）、一般變換（雅可比式）。

重積分的應用

二重積分：面積，曲頂柱體的體積。

三重積分：體積，兩曲面之間的體積。

橢圓型的積分

橢圓型的積分，不採取從負到正的積分限（如果出現這種情況，一般可以直接使用橢圓面積公式，或者是想錯了）

通常可以使用廣義極座標變換，這使得極徑的上下限極其簡明。

輪換

求解重積分時的輪換隻能解決類似表示式不復求的問題（比如求柱體轉動慣量的x,y分量時）。

與之相較，曲線曲面積分是由等式所決定的，在區域對函式來講高度對稱的時候，使用輪換方法可以化簡求解式，從而大大降低複雜度。

例球面x2+y2+z2=a2和平面x+y+z=0的交曲線，若要求∫Lx2ds可以利用13a2ds來考慮

∫ydx y的意義是長度 x的意義是長度 積分的意義當然是面積 類似∑yxi

經過牛頓萊布尼茨公式計算過後，得到的值憑什麼是a-b段函式圍起來的面積 這個問題可以這樣理解：設常數c＜a＜b 使a為變數，那麼ca段的面積s1是y的原函式中的一個（各階導數相同則函式相同） 同樣使b為變數 cb段面積s2也是y的一個原函式 而且s1和s2形式相同（任意a=b時，s1=s2)

因此ab段面積=s2-s1=F（b)-F（a)

因為它是將曲線與某一座標軸分成若干個小矩形面積的和，根據定積分的定義再結合書上的例題就可以知道了