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1 # 83823堃
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2 # 肥妹變肥婆
兩矩陣相似有：特徵值是相同的，行列式也是一樣的，相似就合同，兩個矩陣主對角線的和是一樣的。如果矩陣相似，那麼其代表的就是不同座標系（基）的同一個線性變換。可以得出：<=>正負慣性指數相同<=>正慣性指數,秩相同=>秩相同特徵值是相同的，行列式也是一樣的，相似就合同，兩個矩陣主對角線的和是一樣的。如果矩陣相似，那麼其代表的就是不同座標系（基）的同一個線性變換。
幾何光學：採用近軸近似（英語：paraxial approximation），假若光線與光軸之間的夾角很小，則透鏡或反射元件對於光線的作用，可以表達為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個分量是光線的幾何性質（光線的斜率、光線跟光軸之間在主平面。這矩陣稱為光線傳輸矩陣（英語：ray transfer matrix），內中元素編碼了光學元件的性質。對於折射，這矩陣又細分為兩種：“折射矩陣”與“平移矩陣”。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個主平面傳播到另一個主平面的平移行為。
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3 # 無為輕狂
兩矩陣相似的結論：若A~B，則有(1)A與B有相同的特徵值(2)|A|=|B|(3)tr(A)=tr(B)(4)r(A)=r(B)(5)A^k~B^k(6)A與B同時可逆或同時不可逆，且可逆時A^-1~B^-1。
線上性代數中，相似矩陣是指存在相似關係的矩陣。設A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得
P^(-1)AP=B
則稱矩陣A與B相似，記為A~B。
若A~B，則有:
1、A與B有相同的特徵值、秩、行列式。
2、|A|=|B|
3、tr(A)=tr(B)
4、r(A)=r(B)
5、A^k~B^k
6、A與B同時可逆或同時不可逆，且可逆時A^-1~B^-1。
7、相似矩陣具有相同的可逆性，當它們可逆時，則它們的逆矩陣也相似。
8、對稱性:有A~B則有B~A
9、若A與對角矩陣相似，則稱A為可對角化矩陣，若n階方陣A有n個線性無關的特徵向量，則稱A為單純矩陣。
擴充套件資料
矩陣特徵向量的幾何含義
矩陣乘以一個向量的結果仍是同維數的一個向量。因此，矩陣乘法對應了一個變換，把一個向量變成同維數的另一個向量。
比如可以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維變數逆時針旋轉30度。這時除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣（或者說這個變換自身）沒有特徵向量（注意：特徵向量不能是零向量）。
綜上所述，一個變換（或者說矩陣）的特徵向量就是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已。
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4 # 使用者502108300329
矩陣a與b相似能得出什麼；。p^(-1)AP=B, XT AX=B
1、矩陣a和b相似則特徵多項式相同，特徵值相同，行列式相等，跡相等，秩相等。
p^(-1)AP=B, 則稱A相似B；合同， XT AX=B，則稱A，B合同。
單位矩陣的特徵值皆為1，任何向量都是單位矩陣的特徵向量。
因為特徵值之積等於行列式，所以單位矩陣的行列式為1。因為特徵值之和等於跡數，單位矩陣的跡為n。
2、相似的矩陣必有相同的特徵值，但不一定有相同的特徵向量。
如果A相似B,則存在非奇異矩陣是P，有P^(-1)*A*P＝B。
det(xI-B)=det(xI-P^(-1)*A*P)=det(P^(-1))=det(xI-A*)det*P)=det(xI-A)，
即B的特徵多項式與A的特徵多項式相同，故有相同的特徵值。如果A的特徵向量是a的，則B的特徵向量就是Pa，設x是相應的特徵向量，故Ax＝ax，於是
BPx=PAP^(-1)Pa=PAx=aPx。
A, B 相似，則它們有相同的特徵值。B 的特徵值互不相等，則它可以相似對角化，即存在可逆矩陣Q 使得
B = Q D (Q逆) 其中 D = diag (2,3,4,5).
於是
|(B逆) - E| = | Q (D逆) (Q逆) - E|
=|Q ( (D逆) - E ) (Q逆)|
=| ( (D逆) - E ) |
= | diag (1/2 - 1, 1/3 - 1, 1/4 - 1, 1/5 -1) |
=(1/2) (2/3) (3/4) (4/5)
=1/5
3、相似推特徵值一樣很容易，按定義來。實對稱矩陣的特徵值相同，那麼兩矩陣的特徵多項式相同。由實對稱矩陣可以相似對角化，假設這2個矩陣分別為A,B，那麼分別存在正交矩陣T,P，使得A,B分別相似於同一個對角矩陣，進行適當變換，可以找到可逆矩陣S，使得A相似於B。
擴充套件；相似矩陣具有相同特徵值，但特徵值相同未必相似，也就是說特徵值相同只是矩陣相似的必要條件，而不充分。
比如A，B是兩個4階矩陣，並且有相同的4重特徵值，但A有1階和3階的兩個Jordan塊，而B有兩個2階Jordan塊，所以A，B不相似。判斷兩個矩陣是否相似要依據Jordan是否相同或初等因子是否相同或特徵值的代數重數與幾何重數是否相同。
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5 # 素顏
兩矩陣相似有：特徵值是相同的，行列式也是一樣的，相似就合同，兩個矩陣主對角線的和是一樣的。如果矩陣相似，那麼其代表的就是不同座標系（基）的同一個線性變換。
可以得出：<=>正負慣性指數相同<=>正慣性指數,秩相同=>秩相同特徵值是相同的，行列式也是一樣的，相似就合同，兩個矩陣主對角線的和是一樣的。如果矩陣相似，那麼其代表的就是不同座標系（基）的同一個線性變換
回覆列表
若A~B，則有:
1、A與B有相同的特徵值、秩、行列式。
2、|A|=|B|
3、tr(A)=tr(B)
4、r(A)=r(B)
5、A^k~B^k
6、A與B同時可逆或同時不可逆，且可逆時A^-1~B^-1。
7、相似矩陣具有相同的可逆性，當它們可逆時，則它們的逆矩陣也相似。
8、對稱性:有A~B則有B~A
9、若A與對角矩陣相似，則稱A為可對角化矩陣，若n階方陣A有n個線性無關的特徵向量，則稱A為單純矩陣。
矩陣特徵向量的幾何含義
矩陣乘以一個向量的結果仍是同維數的一個向量。因此，矩陣乘法對應了一個變換，把一個向量變成同維數的另一個向量。
比如可以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維變數逆時針旋轉30度。這時除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣（或者說這個變換自身）沒有特徵向量（注意：特徵向量不能是零向量）。
綜上所述，一個變換（或者說矩陣）的特徵向量就是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已。