函式在某一點的導數是函式在該點附近的平均變化率的極限，即函式在該點處的瞬時變化率，其幾何意義是函式的影象在該點處的切線斜率。

函式在某點可導意味著在這段函式連續。因為函式可導則函式連續；函式連續不一定可導；不連續的函式一定不可導。

函式可導的充要條件：左導數和右導數都存在並且相等。

一個函式在某一點的導數描述了這個函式在這一點附近的變化率。如果函式的自變數和取值都是實數的話，函式在某一點的導數就是該函式所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是透過極限的概念對函式進行區域性的線性逼近。

例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。

擴充套件資料：

導數的性質：

1、若導數大於零，則單調遞增；若導數小於零，則單調遞減；導數等於零為函式駐點，不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。

2、若已知函式為遞增函式，則導數大於等於零；若已知函式為遞減函式，則導數小於等於零。

3、可導函式的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函式的導函式在某個區間上單調遞增，那麼這個區間上函式是向下凹的，反之則是向上凸的。

4、如果二階導函式存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上恆大於零，則這個區間上函式是向下凹的，反之這個區間上函式是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。

根據導數定義可知，導數是一個極限，導數存在說明左極限右極限都存在，因為極限是唯一的，那麼左極限等於右極限，所以在該點必定可導。

從左邊趨近於0時：

1/x趨近於負無窮，2^1/x趨近0那麼分母趨近於1分子1+x趨近於1

所以從左邊趨近於0,f(x)趨近於1

從右趨近0：

1/x趨近正無窮，2^1/x趨近正無窮那麼分母趨近正無窮，分子趨近於1

故，從右邊趨近0時候，f(x)趨近於0

由於左右極限不一致那麼x=0點處的極限不存在

連極限都不存在而且在0點處都無定義更不要談導數了，當然不存在x=0處的導數

函式可導與連續的關係

定理：若函式f(x)在處可導，則必在點處連續。

上述定理說明：函式可導則函式連續；函式連續不一定可導；不連續的函式一定不可導。

點函式的定義：

從點集到實數集的對映，稱為“點函式”，有了點函式的概念，就可以把一元函式、二元函式、三元函式、……、n元函式的概念都統一到點函式的概念，更利於我們對函式實質的理解。

把實數x看作數軸上的一個點，把有序陣列（x，y）看作xoy平面上的一個點，把有序陣列（x，y，z）看作空間一個點，把有序陣列（x1，x2，…，xn）看作n維空間裡的一個點。