嚴格單調的函式的反函式是連續函式是因為:原函式和反函式的影象關於直線y =x 對稱，而嚴格單調的原函式一定是連續的。

如果題目條件限制在：定義在開區間上的連續函式的反函式，那麼它確實是連續的。當然這個結果可以容易的推廣到半開閉或者閉區間。

一元實函式存在反函式那麼自然的它是定義域到值域的一個一一對應，所以得到這個結果主要是因為以下結果：1、連續對映將連通集映為連通集，從而一元連續實函式將開區間被映為開區間。從而值域是開區間（（負無窮，正無窮）這裡也認為是開區間）。2、開區間上定義域到值域的一一對應的連續一元實函式是嚴格單調函式。3、開區間上單調的一元實函式的反函式（嚴格單調函式必有反函式）是單調的。4、單調函式只存在跳躍間斷點（由於單調有界必有極限）並且左極限小於等於函式值小於等於右極限。其中1、2的證明感興趣的可以自己找數學分析的書看，限於篇幅不放了。

有了上述四條，可以簡單證明如下，設f是開區間I上的連續的一元實函式，且f是I到f（I）的一一對應，記反函式為g。則f（I）是開區間，f在I上單調，故g在f（I）上單調。若g不連續，設x是間斷點，不妨設x的左極限=A小於g（x）（其他情況類似可證），那麼不存在y使得g(y)在(A,g(x))上（否則與單調性矛盾），由於g的值域是f的定義域I為開區間，所以得到矛盾。

將題主問題放回到一般的情況，則不成立題主的結論。以下具體介紹了同胚並給出了題主問題的反例：

嚴格單調增加(減少)的函式都存在反函式,且反函式在其定義域上也是嚴格單調增

加（減少）的.

嚴格單調增加(減少)的函式都存在反函式,且反函式在其定義域上也是嚴格單調增

加（減少）的.

嚴格單調增加(減少)的函式都存在反函式,且反函式在其定義域上也是嚴格單調增

加（減少）的.