三線合一定理是 :在等腰三角形中 ，底邊上的高和中線，頂角平分線 三線合一 。

逆定理是:如果一個三角形一條邊上的高，中線以及這條邊所對的頂角的平分線 是同一條直線 ，則這個三角形是等腰三角形 。

顯然逆立命題是正確的 。

定義在等腰三角形ABC中，(設AB=AC)它的底邊上的高線，底邊上的中線，及頂角平分線重合叫做“三線合一”前提： 在等腰三角形中證明1.底邊上的中線推底邊上的高線和頂角平分線.∵AB=AC ∴∠B=∠C又∵BD=DC，AD=AD∴△ADB≌△ADC可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC∴AC⊥BD,AD平分∠BAC其餘兩個推廣結論證明與之類似，不重複。應用1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC∴AC⊥BD,AD平分∠BAC2.∵AB=AC,AC⊥BD∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC3.∵AB=BC,AD平分∠BAC∴AC⊥BD,BD=DC=1/2BC逆推結論在一三角形中，一邊上的高線與此邊上的中線，及此邊對角角平分線中 任意兩線重合可推知此三角形為等腰三角形。（注意：其中一邊上的中線與此邊對角角平分線重合推證等腰三角形，可應用正弦定理，或過此邊中點作另外兩邊垂線。）

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形）

4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均數。

5、三角形內到三邊距離之積最大的點。

三角形五心歌（重外垂內旁）

三角形有五顆心，重外垂內和旁心， 五心性質很重要，認真掌握莫記混。

三條中線定相交，交點位置真奇巧， 交點命名為“重心”，重心性質要明瞭。重心分割中線段，數段之比聽分曉， 長短之比二比一，靈活運用掌握好。

在等腰三角形ABC中，(設AB=AC)

它的底邊上的高線，底邊上的中線，及頂角平分線重合叫做“三線合一”

前提： 在等腰三角形中

證明

1.底邊上的中線推底邊上的高線和頂角平分線

.∵AB=AC ∴∠B=∠C

又∵BD=DC，AD=AD

∴△ADB≌△ADC

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC

∴AC⊥BD,AD平分∠BAC

其餘兩個推廣結論證明與之類似，不重複。

應用

1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC

∴AC⊥BD,AD平分∠BAC

2.∵AB=AC,AC⊥BD

∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC

3.∵AB=BC,AD平分∠BAC

∴AC⊥BD,BD=DC=1/2BC