三角形重心是三角形三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心與形心重合。

性質比例

重心到頂點與到對邊中點比為2：1

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三角形重心

三角形重心是三角形三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心與形心重合。

性質：重心到頂點與到對邊中點比為2：1。

證明：

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交於G。

求證：EG=1/2CG

證明：過E作EH∥BF交AC於H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG。

三角形重心是指幾何數學中三角形三邊中線的交點。三角形有且只有一個重心。

當幾何體為勻質物體時，重心與形心重合。

性質證明

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。



三角形重心

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交於G。

求證：EG=1/2CG

證明：過E作EH∥BF交AC於H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG



三角形重心

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

證明方法：

在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

過O，A分別作a邊上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

則，S △BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S △ABC

同理可證S △AOC=1/3S △ABC

S △AOB=1/3S △ABC

所以，S △BOC=S △AOC=S △AOB

3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形）

證法一：

設三角形三個頂點為(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一點為（x 0，y 0） 則該點到三頂點距離平方和為：

(x 1-x 0) 2+(y 1-y 0) 2+(x 2-x 0) 2+(y 2-y 0) 2+(x 3-x 0) 2+(y 3-y 0) 2

=3x 0 2-2x 0(x 1+x 2+x 3)+3y 0 2-2 0y(y 1+y 2+y 3)+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2

=3[x 0-1/3*(x 1+x 2+x 3)] 2+3[y 0-1/3*(y 1+y 2+y 3)] 2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1+x 2+x 3) 2-1/3(y 1+y 2+y 3) 2

顯然當x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3（ 重心座標）時

上式取得最小值x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1+x 2+x 3) 2-1/3(y 1+y 2+y 3) 2

最終得出結論。

證法二：由性質8（卡諾重心定理）可得出結論。

4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均數，

即其座標為[(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+Y 3)/3]；

空間 直角座標系—— 橫座標：(X 1+X 2+X 3)/3， 縱座標：(Y 1+Y 2+Y 3)/3

5、三角形內到三邊距離之積最大的點。



三角形重心

證明：如圖所示，點P是△ABC內的一點，連線PA，PB，PC，作點P到BC、AC、AB的垂線段，垂足分別為D、E、F，延長AP交BC於M。記△ABC的面積為S，BC為a，AC為b，AB為c，PD為a'，PE為b'，PF為c'。

∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S

∴aa'+bb'+cc'=2S

由 均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，當且僅當aa'=bb'=cc'時等號成立。

∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=S^3/(27abc)，當且僅當aa'=bb'=cc'時等號成立。

∴a'b'c'只有當aa'=bb'=cc'時才會取得最大值。

此時，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。

∴此時BM=CM，M是BC的中點，AM是△ABC的中線，P在△ABC中BC邊的中線上。

同理可證此時P在△ABC中AB、AC邊的中線上。

∴當a'b'c'最大時，P是△ABC的重心，即重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，則M點為△ABC的重心，反之也成立。

7、設△ABC重心為G點，所在平面有一點O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

8、卡諾重心定理：若G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2

證明：GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)

　　GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)

　　GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]

　　延長射線AG,交BC於D,繼續延長,使得GD = DE = AG/2.

　　連線EB,EC,

　　四邊形GBEC為平行四邊形.

　　EB = GC

　　延長射線PG,

　　過點B作PG的延長線的垂線,垂足為F.

　　過點E作PG的延長線的垂線,垂足為H.

　　BE與PG的延長線的交點為點Q.

　　則,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF

　　GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)

　　HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)

　　而

　　GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),

　　因此,

　　GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0,

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2



三角形重心

　　= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]

　　= PA^2 + PB^2 + PC^2

　　利用上面的結論,

　　令P與A重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2

　　= AB^2 + AC^2 ...(1)

　　令P與B重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2

　　= AB^2 + BC^2 ...(2)

　　令P與C重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2

　　= BC^2 + AC^2 ...(3)

　　(1),(2),(3)相加,有

　　3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3.

　　證畢.

三角形具有五心:外心，內心，垂心，旁心，重心。

1、外心:三角形三條邊的垂直平分線的交點，也就是三角形外接圓的圓心，簡稱為外心；

2、內心:三角形三個內角平分線的交點，也就是三角形內切圓的圓心，簡稱為內心；

3、垂心:三角形三邊上的高的交點，就是三角形的垂心；

4、旁心:三角形的一個內角平分線其它兩個內角的外角的平分線的交點，也就是三角形旁切圓的圓心，簡稱為旁心；

壓軸戲，重頭戲往往在最後，我們最後來看什麼是重心:

5、重心:三角形三條邊上的中線的交點叫做三角形的重心。

三角形重心是三角形三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心與形心重合

三角形重心定理

三角形重心是三角形三中線的交點。當幾何體為勻質物體且重力場均勻時，重心與該形中心重合。

性質證明

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形）

4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均數，

5、三角形內到三邊距離之積最大的點。

2021年。

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