以上是柯西中值定理的三個條件

柯西中值定理

條件：

(1)f(x),g(x)在[a,b]上連續；

(2)在(a,b)內可導；

(3)g’(x)在(a,b)內處處不為零。

【注1】：公式右邊分子、分母的ξ為同一個值，結論中的公式不能看成是兩個函式應用拉格朗日中值定理相比得到的結果，因為對於兩個函式應用拉格朗日中值定理對應的中值位置變數取值不一定相同.

【注2】：當作為分母的函式g(x)=x，則定理即為拉格朗日中值定理.

【注3】：柯西中值定理的結論可以認為是從拉格朗日中值定理的引數方程描述形式延伸得到.即任給兩個函式f(t),g(t)，如果令y=f(t), x=g(t)，則構成一個引數方程描述的函式y=y(x)；從而對x=a,x=b，有引數t對應值α,β，滿足a=g(α),b=g(β)，從而也有相應的函式值f(α),f(β)，由引數方程求導公式。

由此更能理解柯西中值定理結論中公式中分子、分母的中值點的一致性.

羅爾（Rolle）定理

如果函式f(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內可導,且在區間端點的函式值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)內至少有一點ζ（a<ζ<b),使得函式f(x)在該點的導數等於零，即f"(ζ)=0。

三個條件是：

1、函式f(x)在閉區間[a,b]上連續；

2、在開區間(a,b)內可導；

3、且在區間端點的函式值相等，即f(a)=f(b)。

若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足，其結論可能不成立。