xy=e^x+y不是微分方程。

xy-y=e^x

y(x-1)=e^x

y=e^x/(x-1)是其y的表示式。

設y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一個解,求此微分方程滿足條件y(ln2)=0的特解

解：∵y=e^x

∴y'=e^x

∵y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一個解

∴x*(e^x)+p(x)*(e^x)=x

=>p(x)=x*[(1-e^x)/(e^x)]

∴微分方程xy'+p(x)y=x就是微分方程xy'+x*[(1-e^x)/(e^x)]*y=x即y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1

設微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1相應的齊次微分方程為

y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=0

=>dy/dx=-[(1-e^x)/(e^x)]*y

=>dy/y=-[(1-e^x)/(e^x)]*dx

=>∫dy/y=∫-[(1-e^x)/(e^x)]*dx

=>lnlyl=∫-[e^(-x)-1]*dx

=>lnlyl=e^(-x)+x+C

=>y=C*[e^(e^(-x))]*(e^x)

設微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1的通解為y=C(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)

則y'=C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+C(x)*[(e^(e^(-x)))*(-e^(-x))*(e^x)+ (e^(e^(-x)))*(e^x)]

=C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+C(x)*[e^(e^(-x))]*[(e^x)-1]

代入微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1得

C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+C(x)*[e^(e^(-x))]*[(e^x)-1]+[(1-e^x)/(e^x)]*C(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)=1

=>C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)=1

=>C'(x)=e^[-e^(-x)]*e^(-x)

=>C(x)=∫e^[-e^(-x)]*e^(-x)dx

=>C(x)=-∫e^[-e^(-x)]d(-e^(-x))

=>C(x)=-e^[-e^(-x)]+C

∴微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1的通解為y=[-e^[-e^(-x)]+C]*[e^(e^(-x))]*(e^x)

即y=-e^x+C*[e^(e^(-x))]*(e^x)

當x=ln2,y=0時

0=-2+C*(e^(1/2))*2

=>C=e^(-1/2)

∴滿足條件y(ln2)=0的特解為y=-e^x+[e^(-1/2)]*[e^(e^(-x))]*(e^x)