對於全序集B,A包含於B,a為A的一上界(任意b∈B有b≤a),且任意ε>0,存在c∈A,使得a-ε<c,則稱a為集合A的上確界. 函式的上確界應該指函式象集在R中的上確界 下確界的數學定義 有界集合S，如果ξ滿足以下條件 （Ⅰ）對一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界； （Ⅱ）對任意β>0，存在x∈S，使得x<β+ξ，; 則稱ξ為集合S的下確界，記作ξ=infS

一個圓只存在一個外切正方形和內切正方形，他們算是最接近的正方形，不存在逼近的說法。但是我看到過一種π=4的證明，咋看很合理，實則很荒謬。下面我就來演示一下：

對一個圓做外切折線段：如下圖（記為圖1）

折線段自然比正方形更接近圓，如果讓折線段更短，如下圖（記為圖2）將比圖1更加逼近圓。

因為這樣的線段是接近圓的，我們來計算這些線段的周長。看下圖：這些綠色的線段分為橫向的和豎向的。橫向的邊上分上下兩部分，每一部分等於外切正方形的邊長。豎向的分左右兩部分，同樣每一部分等於正方形的邊長。此時發現線段的總周長就等於正方形的周長。而正方形的邊長等於圓的直徑（設為d），所以線段總長=正方形周長=4d.而線段是與圓是逼近的，圓周長l=πd.因此πd=4d,π=4.

這種做法自然是很荒謬的，折線段即便再短，而實際上線段總長並沒有變化，都等於正方形的周長。既然沒有變化又何來逼近？其實逼近的只是線段圍成的面積，線段越短，圍成的面積就會越接近圓的面積。既然逼近的是面積，怎可計算周長算作圓的周長呢？

其實用這種辦法可以去計算π，那就是去計算圍成的面積。咱把之前的折線左右相連成為矩形。如下圖。a越小，矩形的面積總和與半圓的面積越逼近：

先建立起矩形的長和寬的聯絡，以下圖說明。

每一個長方形的寬=

求所有長方形的面積之和

其實這裡的最後一項結果為0，因為我們實際上是把半徑分成n等份，每份=a.所以a=r/n,代入上式：（半圓面積≈長方形面積之和）

右邊的等式其實都應該加上極限符號，不然只能是近似。最後一個式子是極限求和，是可以相等的，取特定的n可以求出π的近似值，不過收斂速度還是有點慢。想要式子接著化簡，我也不會了，先溜了！！如果錯了，告訴我一聲！拜拜！

題主所說的 “π等於4” 是這樣的：

給定任意圓以及其外切正方形，如上圖(1)；

我們在外切正方形四個角上各挖去下一個小矩形，得到上圖(2)中，八個角的多角形；

然後我們繼續在八角形的八個角上各挖去一個小矩形，得到上圖(3)中，16個角的多角形；

... ...

這個過程一直持續下去，第 n-1 次挖角後，得到上圖(n)中，2ⁿ⁺¹個角的多角形；

... ...

隨著 n 的增大，多角形會越來越逼近圓，當 n 趨近無窮大時，上圖(∞) 中 多角形 會無限趨近於 圓。於是，視乎就可以認為：

當 n → ∞ 時，圓的周長 = 多角形的周長 ⑴

然後，再觀察下圖，對於多角形的任意 一個角BAC，每次挖角，我們找到 圓弧 BC 的中點 F，然後挖去 矩形 AEFD，這樣得到，角FEC 和 角BDF；

因為 矩形 AEFD 的對邊相等，即，AE = DF, EF = AD，所以，

角ABC的邊長 = AB+ AC = AD + DB + AE + EC = EF + DB + DF + EC = EF + EC + DB + DF = 角EFC的邊 + 角DBF

這說明，每個角的邊長，在挖角前後保持不變！於是 整個多角形 在 挖角前後 周長比如也保持不變。這就意味著，所有的 多角形周長 都等於 最初的 外切正方形的周長，即，

當 n → ∞ 時, 多角形的周長 = 正方形周長 ⑵

再結合前面的結論 ⑴，我們得到一個神奇的結果：

圓的周長 = 外切正方形的周長

設，圓的直徑是 r，則 外切正方形的邊長 也是 r，於是就得到：πr = 4r ，即，

π = 4

顯然 π ≠4 ，所以上面 的 神奇的結果是錯誤的 ，該結果是從 結論 ⑴ 和 ⑵ 共同得到的，而 結論 ⑵ 是我們有證明，所以問題是處在 結論 ⑴ ！那麼，為什麼 結論 ⑴ 有問題呢？

來分析多角形的任意一個角 ACB：

設，上圖中角度均為弧度，則，

弧AB長 = rθ

同時，有，

角ACB邊長 = |CA| + |CB| = rsin(θ + α) - rsin α + rcos α - rcos(θ + α) = r(sin θ cos α + cos θ sin α - sin α + cos α - cos θ cos α + sin θ sin α) = r(sin θ (sin α + cos α) + (cos θ - 1)(sin α - cos α)))

當，θ → 0 時，

弧AB長 → r0 = 0；

角ACB邊長 → r(sin 0 (sin α + cos α) + (cos 0 - 1)(sin α - cos α)) = r(0 (sin α + cos α) + (1 - 1) (sin α - cos α)) = r0 = 0 ；

可見，弧AB長 和 角ACB邊長 都是 無窮小量。再，進一步計算，

注意：這裡考慮第Ⅰ象限，因為 0 < α < π/2 所以 sin α + cos α > 1，其它象限按照對稱性，設定 α，以保證 0 < α < π/2 於是得到同樣的結果。

即，

當 θ → 0 時， 角ACB邊長 / 弧AB長 > 1

於是，

當 θ → 0 時，角ACB邊長 > 弧AB長

而，角ACB選取時任意的，也就是對於 任意角 都有，

當 θ → 0 時，角邊長 > 弧長 ①

於是，

當 θ → 0 時，所有 角邊長 之和 > 所有 弧長 之和

而，所有 角邊長的和 就是 多角形的周長，所有 所有 弧長 的和 就是 圓周長，於是得到：

當 θ → 0 時，多角形的周長 > 圓周長 ⑴‘

到這裡，我們就發現：透過推導得出結論 ⑴‘ 與 前面透過直覺得到的 結論 ⑴ 是不同的！

再，結合結論⑵，可以得到結果：

外切正方形的周長 > 圓的周長

實際上，4r > πr, 4 > π ，符合我們的計算結果。

透過具體計算，我們得出的結果和感覺上並不相符！

作為比較，我們考慮 弦AB！

根據餘弦定理，有，

弦AB長² = |OA|² + |OB|² - 2|OA||AB|cos θ = r² + r² - 2 r r cos θ = 2r²(1 - cos θ )

弦AB長 = √2r√(1 - cos θ )

當，θ → 0 時，弦AB長 → √2r√(1 - cos 0 ) = 0，弦AB長 也是無窮小量，同樣，計算，

根據，這個結論。透過，上面的方式，我們可以得到：

當 θ → 0 時， 所有 弦長 的和 = 圓周長

而 所有 弦長 的和 就是 內接正多邊形的邊長，於是有，

當 θ → 0 時， 內接正多邊形的邊長 = 圓周長

這就是，割圓術的原理。

我們，稱 滿足 極限 條件：

的 無窮小量 f 和 g 為等價無窮小量。上面 弧長 和 弦長 就是 等價的無窮小量，而 弧長 和 角邊長 就不是。

在極限計算式中，只有等價的無窮小量，才能相互替換，例如：

圓周長 = θ → 0, ∑ 弧長 ⑶

因，弧長 和 弦長 是等價無窮小量，所以 可以將 ⑶ 式 中的 弧長替換為 弦長 得到：

圓周長 = θ → 0, ∑ 弦長 = θ → 0，正多邊形邊長

而，弧長 和 角邊長不是 等價無窮小量，所以不能 將 ⑶ 式 替換為 角邊長，從而得到 結論 ⑴。

前面 不等式 ① 說明：

雖然，當 θ → 0 時，弧長 和 角邊長 都趨近於 0，但是 它們的 趨近程度不同，角邊長 始終大於 弧長。

以上都是周長，下面考慮面積！我們可以求得，

圓餅AOB面積 = πr² ⋅ θ/(2π) = θr²/2；

以及，

三角形AOB面積 = 1/2|OA||OB|sinθ = 1/2 r²sinθ = r²/2 sinθ；

三角形ABC面積 = 1/2 |CA| |CB| = 1/2 (rsin(θ + α) - rsin α) (rcos α - rcos(θ + α)) = r²/2 ⋅ 2sin(θ/2)cos(θ/2 + α) ⋅ 2sin(θ/2 + α)sin(θ/2) = r²/2 ⋅ 2sin²(θ/2) ⋅ 2sin(θ/2 + α)cos(θ/2 + α) = r²/2 (1 - cosθ) sin(θ + 2α)

四邊形AOCB面積 = 三角形AOB面積 + 三角形ABC面積 = r²/2 (sinθ + (1 - cosθ) sin(θ + 2α))

當 θ → 0 時，

圓餅AOB面積 → 0r²/2 = 0

四邊形AOCB面積 → r²/2 (sin0 + (1 - cos0) sin(0 + 2α)) = r²/2 (0 + (1 - 1) sin(2α)) = 0

可見， 圓餅AOB面積 和 四邊形AOCB面積 都是 θ 的無窮小量。再計算：

這說明，圓餅AOB面積 和 四邊形AOCB面積 是等價無窮小量。透過，上面的方式，我們可以得到：

當 θ → 0 時， 所有 四邊形面積 之和 = 所有 圓餅 面積之和，

而， 所有 四邊形面積 之和 就是多角形面積，所有 圓餅 面積之和 就是圓的面積，故，最後得到：

當 θ → 0 時，多角形的面積 = 圓面積

也就是，說多角形逼近的是圓的面積而非周長，這才是我們直覺上感覺到的。

為了排除圓的影響，我們取第Ⅰ象限，並將圓弧拉直水平放置，保持每個角都是直角，這樣我們就得到一個鋸齒邊：

每個鋸齒都是一個等腰直角三角形， 最開始，只有一個鋸齒，第1次挖角後，變成兩個，第2次挖角後，變成四個，... ... , 第n次挖角後，變成 2ⁿ 個，... ...

如果，設 底邊 是 √2 則， 根據勾股定理，最開始時，鋸齒邊的長度 = 2√[(√2)²/2] = 2，再根據，我們前面的分析，任意一個鋸齒邊的長度都是2。

上面，是算出來的鋸齒邊的長度，現在，請大家思考，我們如何來測量鋸齒邊的長度？

設，當 θ → 0 時，鋸齒邊 為 S，S 有 2ⁿ 個等腰直角三角形，就有 2×2ⁿ 個小直角邊，於是我們就可以用 小尺子 來測量 2×2ⁿ 個 每個小直角邊，然後將測量結果加起來就得到 S 的 總長度，記為 H(S)，即：

現實中，我們當然可以用帶刻度的小尺子測量小直角邊，如下圖(1)，

數學中，我們用圓當做尺子，見上圖(2)，任意取一個可以覆蓋住小直角邊的圓，然後用圓的直徑（長度）當做小直角邊的測量值。設，每個小直角邊ᵢ 被 一個圓 Uᵢ 覆蓋，則，整個鋸齒邊 S，被這一組圓 U = {Uᵢ} 覆蓋，這些圓的直徑之和就是 S 的測量值，用 diam(x) 表示 x 的直徑，則有，

由於，上面的條件是 圓 Uᵢ 覆蓋 小直角邊ᵢ ，沒有說是 恰恰剛好覆蓋（上圖(2)中紅色圓），所以 只能保證 diam(Uᵢ ) ≥ 小直角邊ᵢ的精確長度，進而，結果是：

測量值(S) ≥ S的精確長度

所以，我們需要 將 所有 的 測量值(S) 收集起來，取 下確界 （inf） 以 逼近 S的精確長度，即， 式(4) 改寫為：

再分析：

我們其實不一定非要 每個 小直角邊ᵢ 對應一個 圓 Uᵢ ，一個小直角邊，也可以被 多個 圓覆蓋，如上圖(1)！於是，我們只要保證 U 中圓的個數是可數個，以使得式(4")中的累加有效，就可以了。但是，為了避免 一個圓 覆蓋多個 小直角邊 的情況，我們給定一個和 小直角邊長匹配的 粒度 δ，如上圖(2)，讓 U 中所有圓的直徑 都要 小於 δ。因為，隨著不斷挖角， 小直角邊 是趨近 0 的，於是 與之匹配的 粒度 δ 也要趨近於 0；再進一步，因為最終總是要取下確界，我們也不需要 一定非要用 一組圓 來覆蓋 S，我們可以用任意 開集族 U 來覆蓋 S，如上圖(3)。為了配合，我們定義 U 中 開集 Uᵢ 的直徑為，Uᵢ 中任意兩點距離的上確界（sup），即，diam(Uᵢ) = sup{d(x, y) | x, y ∈ Uᵢ }最後，以上的 H(S) 只是 1維 的情況，對於，更普遍的 n 維 Hⁿ(S)，我們取 距離的 n 次方 做為 最基本的測量值；

綜上，式(4‘) 最終改寫為：

Hⁿ(S) 就是 S 的 n 維 Hausdorff 測度。

如果設，Λ(S) 是將 S 放大 λ 倍 的變換，則顯然 λ(S) 將每個級別覆蓋的 直徑擴大 λ 倍，於是有：

觀察發現，S 的左、右半邊，和 整個 S 是完全相似的，也就是，將 S 縮小一倍（λ = 1/2）將和 左、右半邊完全相同，根據上面的公式，有：

反覆迭代上式，得到：

當 2/2ⁿ < 1, 即，2ⁿ > 2, n > log₂2 = 1 時， k → ∞ 使得 (2/2ⁿ)ᵏ = 0，所以 Hⁿ(S) = 0；當 n = 1 時， (2/2ⁿ)ᵏ = 1，所以 Hⁿ(S) 為非零有效值；當 n < 1 時， k → ∞ 使得 (2/2ⁿ)ᵏ = +∞，所以 Hⁿ(S) = = +∞。

注意：因為 2 > 1，所以 H²(S) = 0；H²(S) 相當於 測量 S 的面積（實際上是 和麵積相差一個 常數因子），顯然對於鋸齒線 S，面積為 0 很正常。

我們稱 S 這樣， 部分和整體相似的圖形，為 分形，稱：

為 S 的分形維數。顯然，S 的分形維數 為 1，即 dim(S) = 1。

對於任意 分形 G，如果 n < dim(G) 則 Hⁿ(G) = +∞，如果 n > dim(G) 則 Hⁿ(G) = 0。

下面是一個更有名的分形，稱為 Koch 曲線：

將 Koch曲線 縮小三倍（λ = 1/3），則 和 Koch曲線 左、斜左、斜右，右 完全相同，於是有，

和上面類似，當 4/3ⁿ < 1，即，3ⁿ > 4, n > log₃4 時， Hⁿ(K) = 0，故 Koch曲線的 分形維數為：

dim(K) = log₃4 = ln4/ln3 ≈ 1.26

這裡，出現了 分數 維數，維數不再是正整數，這就是 分形的 特性！

因為，n = 1 < dim(K) ，所以 Hⁿ(K) = +∞，這說明，Koch曲線的長度（n = 1） 是 無限大！所以，以 Koch曲線 為邊的雪花，

具有，面積有限，邊長無限，的特性！

最後，再看一個面的分形，稱為 Sierpinski 三角：

它是由一個等邊三角形，不斷挖區中心的倒三角形，而得到。將 Sierpinski 三角 縮小一倍（λ = 1/3），將和三個角的區域性三角完全一致，所以它是分形！並且根據性質(5)，可以求得：

於是，和上面類似，可得到 Sierpinski 三角 的 分形維數是：

dim(T) = log₂3 = ln3/ln2 ≈ 1.58

因，dim(T) < 2 ，所以 Sierpinski 三角的面積（與 H²(T) 差一個 常數因子）為零。

這個錯是數學史上求圓周率的通病！人們從來就沒有懷疑過π＝3.14無限不迴圈錯在哪裡，實質“割圓法"與邊長為1的圓外切正四邊形無限趨近圓，完全是同一原理，都是將正多邊形轉折曲線長度，當作了圓的光骨曲線長度。而實際上，無論你是利用內接或外切多邊形趨近圓的方法，轉折曲線的周長，總是比光滑的弧線周長要長一些，3.14只所以比4小了一些，原因是它由內趨近，再加上趨近操作不同，正四邊形從外趨近，用的是正方形和長方形對邊相等趨近法，這種方法所形成的鋸齒角度總是90度，而割圓法用的是增加正多邊形的邊數趨近法，這種方法所形成的鋸齒角度，會向180度平角靠近，卻永遠小於180度，二者比較，都有轉折曲度，轉折角小(90度)的前者，比後者周長要長是必然的，這點常識，人人都能想明白，但是，還有關鍵的一點，我們也能從π＝4悟出來，π＝3.14仍然比不轉折的光滑圓弧線要長些。這也啟發了我們，無限級數收斂出的圓周率，肯定也比真正圓周率要大，因為其收斂的仍然是鋸齒線長度，而不是光滑的弧線長。人類求圓周率的歷史這麼長，從3、3.09、3.12、3.14、3.16等等值都有求到過，究竟哪一個是真值？我發現只有公元前5世紀，古印度人給出的比值3.09正確！圓確實是黃金比例構成，方圓互化也不是什麼難題，利用100個頂角為3.6度的等腰黃金三角形，即可組成正100邊形，也可以組成一個圓，還可組成一個矩形，這是方圓互化的客觀事實，平直完全可以直接組成彎曲，正100邊形就是圓！它的內角是180度平角，這是正100邊形能從176.4度內角的變更而化作圓的本質原因，因為內角平直後，轉折的鋸齒稜角已經不存在了。