fx的不定積分是1/2fx^2C

在微積分中，一個函式f 的不定積分，或原函式，或反導數，是一個導數等於f 的函式 F ，即F ′ = f。不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。其中F是f的不定積分。

設 f(x)的可去間斷點x0, f(x) 在任何別的點都連續。 設g(x)為f(x)的連續化所得函式。 即 當 x不=x0時， g(x)=f(x), g(x0) = lim(x-->x0)f(x). g(x)，f(x) 都是可積函式。 而g(x) 連續。 所以g(x)存在原函式G(x)。 假設f(x)存在原函式F(x). 則： h(x)=f(x)-g(x) 存在原函式 F(x)-G(x)而 h(x) = 0 如果 x不=x0. 但是 h(x0) 不= 0. 這樣的h(x) 可積， 且積分函式是常值函式。 所以F(x)-G(x) = C， C為常數。 ==》 F'(x) = G'(x) 即 g(x) = f(x) , 矛盾。 所以不存在F(x) 使得 F'(x) = f(x) 在 x=x0處成立。 即 f(x) 不存在原函式。

首先有一個定理：若函式f在區間i上連續，則f在i上存在原函式f，即f’（x）=f(x)。

而函式在跳躍間斷點和可去間斷點處只有左連續和右連續，所以沒有原函式。

函式f在區間[a,b]上只有有限個第一類間斷點，則稱f在[a,b]上分段連續，有無窮個間斷點不連續，所以沒有原函式

因為原函式存在定理為：若f(x)在[a,b]上連續,則必存在原函式。此條件為充分條件，而非必要條件。即若f（x）存在原函式，不能推出f(x)在[a,b]上連續。由於初等函式在有定義的區間上都是連續的，故初等在其定義區間上都有原函式。

一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。

原函式存在與間斷點的關係：

設F'（x）=f(x)，f（x）在x=x0處不連續，則x0必為第二類間斷點（對於考研數學，只能是第二類振盪間斷點），而非第一類間斷點或第二類無窮間斷點。

當f(x)存在第二類振盪間斷點時，不能確定是否存在原函式，這種情況下結論與f(x)的表示式有關。

原函式存在的三個結論：

如果f(x)連續，則一定存在原函式。如果f(x)不連續，有第一類可去、跳躍間斷點或第二類無窮間斷點，那麼包含此間斷點的區間內，一定不存在原函式。

如果f(x)不連續，有第二類振盪間斷點，那麼包含此間斷點的區間內，原函式可能存在，也可能不存在。

由於函式f（x）的不定積分中含有任意常數c，因此對於每一個給定的c，都有一個確定的原函式，在幾何上，相應地就有一條確定的曲線，稱為f（x）的積分曲線。因為c可以取任意值，因此不定積分表示f（x）的一簇積分曲線，而f（x）正是積分曲線的斜率。

由於積分曲線簇中的每一條曲線，對應於同一橫座標x=x0的點處有相同的斜率f（x0），所以對應於這些點處，它們的切線互相平行，任意兩條曲線的縱座標之間相差一個常數。所以，積分曲線簇y=F（x）+c中每一條曲線都可以由曲線y=F（x）沿y軸方向上、下移動而得到。