AA-1=E | A -1 | | A | =1 所以| A -1 | = | A | -1

設A是數域上的一個n階矩陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為單位矩陣。

（1）驗證兩個矩陣互為逆矩陣

按照矩陣的乘法滿足：

故A，B互為逆矩陣。

（2）逆矩陣的唯一性

若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的。

證明：

若B,C都是A的逆矩陣，則有

，所以B=C，即A的逆矩陣是唯一的。

（3）判定簡單的矩陣不可逆

如

。假設有

是A的逆矩陣，則有

比較其右下方一項：0≠1。

若矩陣A可逆，則 |A|≠0；

若A可逆，即有A-1，使得AA-1=E，故|A|·|A-1|=|E|=1，則|A|≠0。

擴充套件資料：

若n階方陣A可逆，即A行等價I，即存在初等矩陣P1，P2,...,Pk使得

，在此式子兩端同時右乘A-1得：

比較兩式可知：對A和I施行完全相同的若干初等行變換，在這些初等行變化把A變成單位矩陣的同時，這些初等行變換也將單位矩陣化為A-1。

如果矩陣A和B互逆，則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知，矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個矩陣的行列式都不為0。

也就是說，這兩個矩陣的秩等於它們的級數（或稱為階，也就是說，A與B都是方陣，且rank(A) = rank(B) = n）。換句話說，這兩個矩陣可以只經由初等行變換，或者只經由初等列變換，變為單位矩陣。

由 AA^-1 = E，兩邊取行列式得：|AA^-1| = |E|。

所以 |A||A^-1| = 1。

所以 |A^-1| = 1/|A|。

行列式在數學中，是一個函式，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標量，寫作det(A)或 | A | 。無論是線上性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有著重要的應用。

行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。

行列式性質

1、行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等於kA。

2、行列式A等於其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。

3、若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其餘各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。