這麼說吧，不定積分就是求原函式，由於常數的導數為零。所以某函式的原函式有多個，多個原函式只相差一個常數C。但是一個函式的導數只有一個

因為原函式存在定理為：若f(x)在[a,b]上連續,則必存在原函式。此條件為充分條件，而非必要條件。即若f（x）存在原函式，不能推出f(x)在[a,b]上連續。由於初等函式在有定義的區間上都是連續的，故初等在其定義區間上都有原函式。

一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。

我們只要捋清不定積分和定積分的關係應該就能清楚問題的答案了

先看不定積分：不定積分其實就是全體原函式，或者說是全體反導函式，關於不定積分有明確的存在定理：

定理1：如果函式  在區間  上連續（無論開區間，閉區間），那麼  在區間  上存在不定積分

但這句話反過來是不對的，如果  在區間  上存在不定積分，他也不一定是連續的

定理2：如果函式f在區間I上有第一類間斷點，那麼函式f在區間I上沒有不定積分

所以題主所說，定義在閉區間上的函式有不定積分，不能推出這個函式一定是一個連續函式，他有可能是一個有無窮多個第二類間斷點（至多不可數）的函式

那麼接下來我們來看定積分：關於定積分的定義我就不再敘述了，我們直接看定積分的存在定理：

一共有四條：

定理3：設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。

定理4：設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。

定理5：設f(x)在區間[a,b]上單調有界,則f(x)在[a,b]上可積。

最重要的我們根據

定理6:一個有界函式函式黎曼可積當且僅當其所有不連續點集合是零測集

你會發現上面提到那個病態的函式是不可積分的

題主的問題我們回答完了，答案是否定的，那什麼樣的函式一定可以同時存在不定積分和定積分呢，或者一定不可以：

透過上面五個定理我們可以得到兩個結論：

透過定理1和定理3可知在閉區間I上連續函式f一定能同時存在不定積分和定積分

透過定理2個定理4可知在閉區間I上，有界且有有限個第一類間斷點的函式f，一定不存在不定積分，一定存在定積分

1、利用有原函式存在定理：原函式存在定理:若f(x)在[a,b]上連續,則必存在原函式。

2、如果f(x)不連續，有第一類可去、跳躍間斷點或第二類無窮間斷點，那麼包含此間斷點的區間內，一定不存在原函式；

3、如果f(x)不連續，有第二類振盪間斷點，那麼包含此間斷點的區間內，原函式可能存在，也可能不存在。

在微積分中，一個函式f 的不定積分，或原函式，或反導數，是一個導數等於f 的函式 F ，即F ′ = f。不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。其中F是f的不定積分。

擴充套件資料：

求一個函式的原函式：



設F(x)是函式f(x)的一個原函式，我們把函式f(x)的所有原函式F(x)+ C(其中，C為任意常數）叫做函式f(x)的不定積分，又叫做函式f(x)的反導數，記作∫f(x)dx或者∫f（高等微積分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函式，x叫做積分變數，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數或積分常量，求已知函式的不定積分的過程叫做對這個函式進行不定積分。

由定義可知：求函式f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函式，由原函式的性質可知，只要求出函式f(x)的一個原函式，再加上任意的常數C就得到函式f(x)的不定積分。